2013年山西省吕梁市汾阳中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={y|y=x²-1，x∈R}，，则M∩N=（ ）
A．[-1，+∞）
B．
C．
D．ϕ

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，使x²+ax-4a＜0为假命题”是“-16≤a≤0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．4
C．-6
D．6

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a₁+a₂=3，a₂+a₃=6，则a₇=（ ）
A．64
B．81
C．128
D．243

5. 难度：中等

已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

6. 难度：中等

设数列{a_n}是等比数列，其前n项和为S_n，且S₃=3a₃，则公比q的值为（ ）
A．-
B．
C．1或-
D．1或

7. 难度：中等

已知命题p₁：函数y=2^x-2^-x在R上为增函数，p₂：函数y=2^x+2^-x在R上为减函数，则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂；q₃：（￢p₁）∨p₂；q₄：p₁∨（￢p₂）；其中为真命题的是（ ）
A．q₁和q₃
B．q₂和q₃
C．q₁ 和q₄
D．q₂和q₄

8. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=（k-1）a^x-a^-x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log_a（x+k）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．

12. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设则不等式f（x）＞2的解集为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=alog₂x+blog₃x+2，且，则f（2012）的值为    ．

15. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=    ．

16. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），则当的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

若集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y=x²-x+，0≤x≤3}
（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，求（C_RA）∩B．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=2sincos-2sin²+．
（1）求函数f（x）的最大值，并写出相应的x取值集合；
（2）令f（α+）=，且α∈（0，π），求tan2α的值．

19. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记b_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（lga+2）x+lgb满足f（-1）=-2，且对于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g（x）=f（x）-2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，g（x+t）≤x恒成立，求实数m的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0．
（1）求实数a、b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（3）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围．

22. 难度：中等

任选一题作答选修：几何证明选讲如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（I）若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
（Ⅱ）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
从极点O作射线，交直线ρcosθ=3于点M，P为射线OM上的点，且|OM|•|OP|=12，若有且只有一个点P在直线ρsinθ-ρcosθ=m，求实数m的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲定义min{a，b}=，求函数f（x）=min{|x-2|+|2x+1|，-x²+3x+3}的最大值．