2011-2012学年湖南师大附中高三第八次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，则i+i²+i³+…+i²⁰¹⁰=（ ）
A．i
B．-i
C．1-i
D．i-1

2. 难度：中等

若函数f（x）=3sin（ωx+φ）对任意x∈R都有f（）=f（），则f（）=（ ）
A．3或0
B．-3或3
C．0
D．-3或0

3. 难度：中等

当x∈（1，2）时，不等式（x-1）²＜log_ax恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（2，3]
B．[4，+∞）
C．（1，2]
D．[2，4）

4. 难度：中等

，是两个不共线的非零向量，已知=2+k，=+，=-2，若A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．1
B．2
C．-2
D．-1

5. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=（x²-3x+2）g（x）+3x-4，其中函数y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，则函数f（x）在下列哪个区间内必有零点（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（ ）

A．42π
B．68π
C．37π
D．56π

7. 难度：中等

已知F₁、F₂是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F₁F₂为斜边作等腰直角三角形F₁MF₂，如果线段MF₁的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ）
A．+
B．-
C．
D．

8. 难度：中等

已知A={x|log₂（x²-x）-1≥log₂3}，B={y|y=2^x，且x≤2}，则A∩B=（ ）
A．（3，4）
B．[3，4]
C．（-2，3）
D．（3，+∞）

9. 难度：中等

正整数按如图的规律排列，则上起第2011行，左起第2012列的数为（ ）

A．2011²
B．2012²
C．2011+2012
D．2011×2012

二、填空题

10. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线ρcos²θ=4sinθ的焦点的极坐标是    ．

11. 难度：中等

（优选法）某食物的加工质量受其重量（kg）和加工时间（min）两个因素的影响，如图，用平行线加速法寻找最佳加工条件，图中A₃是最佳点，则加工过程中最优加工时间是    min．

12. 难度：中等

执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=    ．

13. 难度：中等

F是椭圆的右焦点，A（1，1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，则|PA|+|PF|的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（）=（1-a）f（x）+af（y），则a的值是    ．

15. 难度：中等

若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当+取最小值时，函数f（x）的解析式是     ．

16. 难度：中等

已知集合M={1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A的累积值为n．
（1）若n=3，则这样的集合A共有    个；（2）若n为偶数，则这样的集合A共有    个．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？

18. 难度：中等

某市在“节约用水、保护水资源”的宣传教育活动中发布两则公益广告，活动组织者为了了解宣传效果，对10～60岁人群随机抽样调查了n人，要求被调查人回答两则广告的内容，调查结果如下表所示：

	广告一		广告二
年龄组	回答正确人数	在本组的频率	回答正确人数	在本组的频率
[10，20﹚	90	a	45	b
[20，30﹚	225	0.75	240	0.8
[30，40﹚	378	0.9	252	0.6
[40，50﹚	180	c	120	d
[50，60﹚	15	0.25	30	0.5

被抽样调查的n人在各年龄段人数的分布情况如频率分布直方图所示（如图）
（1）分布求出n和数表中a，b，c，d的值；
（2）如果表中的频率近似看作各年龄组中每人正确回答广告的概率，从被调查的n人中任选一人，求此人能正确回答广告一的概率；
（3）如果[10，20）年龄组中每人对两则广告都回答错误的概率为，组织者随机请一名16岁的学生回答两则广告内容，求该学生至少能正确回答一个广告的概率．

19. 难度：中等

如图所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′-EC-B是直二面角．
（1）证明：BE⊥C D′；
（2）求二面角D′-BC-E的正切值．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*都有2pS_n=a_n²+pa_n（其中p＞0为常数）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意n∈N^*都有…+＜1成立，求p的取值范围．

21. 难度：中等

已知动点P到直线y=1的距离比它到点F（0，）的距离大．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P的轨迹上不存在两点关于直线l：y=m（x-3）对称，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当1＜x＜e²时，恒有成立；
（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h₁（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h₁（x）的零点个数，并说明理由．