2013年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合A={x|2^x＞1}，B={x|x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＜1}

3. 难度：中等

已知命题 p：∀x∈R，x≥2，那么下列结论正确的是（ ）
A．命题¬p：∀x∈R，x≤2
B．命题¬p：∃x∈R，x＜2
C．命题¬p：∀x∈R，x≤-2
D．命题¬p：∃x∈R，x＜-2

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A．102
B．81
C．39
D．21

5. 难度：中等

在区间上随机取一个数x，则事件“tanxcosx≥”发生的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ ）

A．2
B．3
C．
D．

8. 难度：中等

定义一种新运算：a•b=已知函数f（x）=（1+）•log₂x，若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围为（ ）
A．（1，2]
B．（1，2）
C．（0，2）
D．（0，1）

二、填空题

9. 难度：中等

在△ABC中，若a=4，b=5，c=，则∠C的大小为    ．

10. 难度：中等

双曲线的一条渐近线方程为y=，则b=    ．

11. 难度：中等

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a=    ；若要从成绩在[85，90），[90，95），[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加面试，则成绩在[95，100]内的学生中，学生甲被选取的概率为    ．

12. 难度：中等

设与抛物线y²=-4x的准线围成的三角形区域（包含边界）为D，P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y的最大值为    ．

13. 难度：中等

如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则=    ．

14. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是函数f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题
（1）函数f（x）=x³-x²+3x-的对称中心为    ；
（2）计算+…+f（）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₃=S₃=9
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{b_n}满足b₁=a₂，b₄=S₄，求{b_n}的前n项和公式．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=-2cos²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求三棱锥P-BCD的体积；
（Ⅲ） 在线段AB上是否存在点G，使得CD⊥平面EFG？说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为且过点（0，1）．
（I）求此椭圆的方程；
（II）已知定点E（-1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
（I）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（II）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．