2013年江苏省徐州市、宿迁市高考数学三模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，若，则ab的值为    ．

2. 难度：中等

某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为    ．

3. 难度：中等

如图是一个算法流程图，则输出的S的值是    ．

4. 难度：中等

若集合A={-1，0，1}，B={y|y=cos（πx），x∈A}，则A∩B=    ．

5. 难度：中等

方程表示双曲线的充要条件是k∈    ．

6. 难度：中等

在△ABC中，已知，，则tanC的值是    ．

7. 难度：中等

已知实数x，y满足则x²+y²-2x的最小值是    ．

8. 难度：中等

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇=7，S₁₅=75，则数列的前20项和为    ．

9. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P-ABC的体积为    ．

10. 难度：中等

已知O为△ABC的外心，若，则∠C等于    ．

11. 难度：中等

已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是    ．

12. 难度：中等

若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知函数，若a＞b≥0，且f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知曲线C：，直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．若△ABP的面积为，则△OMN的面积为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，AB，CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF∥CE．求证：
（1）平面BCEF⊥平面ACE；
（2）直线DF∥平面ACE．

16. 难度：中等

已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求cosA的值；
（2）若a，b，c成等差数列，求sinC的值．

17. 难度：中等

已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率，A₁，A₂分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A₂的半径为a，过点A₁作圆A₂的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．
（1）求直线OP的方程；
（2）求的值；
（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S₁，S₂．求S₁S₂的最大值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=a+2（a≥0），，n∈N^*．
（1）若a=0，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|a_n+1-a_n|，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜a₁．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax²-x，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c₁，c₂（点P除外），该函数图象在点P处的切线为l，且c₁，c₂分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．

21. 难度：中等

几何证明选讲：如图，已知圆A，圆B都经过点C，BC是圆A的切线，圆B交AB于点D，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE．求证DE•DC=2AD•DB．

22. 难度：中等

矩阵与变换：已知a，b∈R，若矩阵所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求M^-1．

23. 难度：中等

坐标系与参数方程：在极坐标系中，已知直线2ρcosθ+ρsinθ+a=0（a＞0）被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2，求a的值．

24. 难度：中等

不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x-2y-3z=4，求x²+y²+z²的最小值．

25. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=6，AB=2，M，N分别是棱BB₁，CC₁上的点，且BM=4，CN=2．
（1）求异面直线AM与A₁C₁所成角的余弦值；
（2）求二面角M-AN-A₁的正弦值．

26. 难度：中等

已知函数，n∈N^*．
（1）当n≥2时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）是否存在等差数列{a_n}，使得对一切n∈N^*都成立？并说明理由．