2012-2013学年河北省重点中学高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1+i，则=（ ）
A．
B．
C．i
D．-i

2. 难度：中等

设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（ ）
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
D．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a

3. 难度：中等

设全集U=R，A={x|＜2}，B={x|}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．{x|1≤x＜2}
B．{x|x≥1}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x≤1}

4. 难度：中等

若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知，则tan（α+β）=（ ）
A．-2
B．-1
C．
D．

6. 难度：中等

如图是一个程序框图，该程序框图输出的结果是，则判断框内应该填入的是（ ）

A．i≥3？
B．i＞3？
C．i≥5？
D．i＞5？

7. 难度：中等

展开式中不含x⁴项的系数的和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

8. 难度：中等

设F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，则双曲线离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知向量的夹角为，且，，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（ ）
A．72种
B．54种
C．36种
D．24种

12. 难度：中等

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．4或2

二、填空题

13. 难度：中等

已知数列{a_n}为等比数列，且a₃•a₇=2a₅，设等差数列{b_n}的前n项和为S_n，若b₅=a₅，则S₉=    ．

14. 难度：中等

设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知抛物线C₁：y²=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C₁的焦点，依次交C₁，C₂于A，B，C，D四点，则的值为    ．

16. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示．刚该几何体的体积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，a²b²cosC=a²+b²-c²，S_△ABC=．
（I）求证：△ABC为等腰三角形．
（II）求角A的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=1，b₃+b₇=18．且b_n+1+b_n-1=2b_n（n≥2）．
（I）数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（II）若b_n=a_n•c_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

如图，四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（I）求三棱柱C-A₁B₁C₁的体积V；
（II）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值．

20. 难度：中等

第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．
（I）根据以上数据完成以下2×2列联表：

	会俄语	不会俄语	总计
男
女
总计			30

并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？
参考公式：K₂=其中n=a+b+c+d
参考数据：

P（K^2≥k）	0.40	0.25	0.10	0.010
k	0.708	1.323	2.706	6.635

（II）若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，则小组中既有男又有女的概率是多少？
（III）若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作，记会俄语的人数为ξ，求ξ的期望．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆，梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．
（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，求椭圆C的离心率；
（II）设H为梯形ABCD对角线的交点，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正实数λ使得恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（I）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（II）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）且x₂-x₁＞ln2，求实数a的取值范围．