2013年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|x²=x}，B={x∈R|x³=x}，则集合A∪B的子集个数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

2. 难度：中等

在复平面内复数，对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（ ）
A．1
B．
C．i
D．i

3. 难度：中等

设函数f（x）=sin²（x+）-cos²（x+）（x∈R），则函数f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

4. 难度：中等

一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

曲线y=x与y=围成的图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设向量，均为非零向量，（+2）⊥，（+2）⊥，则，的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如果双曲线=1（m＞0，n＞0）的渐近线方程渐近线为y=x，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若α是锐角，且cos（）=-，则sinα的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

某学校对高一新生的体重进行了抽样调查．右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55），[55，60），[60，65），[65，70]，已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是．（ ）

A．90
B．75
C．60
D．45

10. 难度：中等

已知a＞0，则f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域为R的充要条件是（ ）
A．∃x∈R，ax²≥bx+c
B．∃x∈R，ax²≤bx+c
C．∀x∈R，ax²≥bx+c
D．∀x∈R，ax²≤bx+c

11. 难度：中等

已知（1-2x）⁸=a+a₁x+a₂x²+…a₈x⁸，则a₁+2a₂+3a₃+…8a₈=（ ）
A．-8
B．8
C．-16
D．16

12. 难度：中等

设x，y满足时，则z=x+y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1
B．-＜a＜1
C．0≤a＜1
D．a＜0

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²+b²=3c²，则cosC最小值为    ．

14. 难度：中等

已知四面体A-BCD中三组对棱分别相等，且长分别为2，，，则四面体A-BCD的外接球的半径为    ．

15. 难度：中等

甲、乙两名同学从四门选修课中各选修两门，则两人所选课程中恰有一门相同的概率为    ．

16. 难度：中等

若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

根据如图的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x₂₀₁₃；y₁，y₂，…，y₂₀₁₃
（Ⅰ）写出数列{x_n}，{y_n}的通项公式（不要求写出求解过程）
（Ⅱ）求数列{x_n-y_n}的前n项和S_n（n≤2013）

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CBA=90°，面 PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=AD=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：PD⊥AC；
（Ⅱ）若点M是棱PD的中点．求二面角M-AC-D的余弦值．

19. 难度：中等

某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束．甲，乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：

出场顺序	1号	2号	3号	4号	5号
获胜概率		p	q

若甲队横扫对手获胜（即3：0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求甲队获胜场数的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P（0，-1），点A在x轴上，点B在y轴非负半轴上，点M满足：=2，=0
（Ⅰ）当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上一点，直线l过点Q且与曲线C在点Q处的切线垂直，l与C的另一个交点为R，若以线段QR为直径的圆经巡原点，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-x+ax²．
（I）试确定实数a的取值范围，使得函数f（x）在定义域内是单调函数；
（II）证明：＞．

22. 难度：中等

如图所示四边形ABCD内接于E、O，AC交BD于点E，圆的切线DF交BC的延长线于F，CD平分∠BDF
（Ⅰ）求证：AB•AD=AC•AE
（Ⅱ）若圆的半径为2，弦BD长为2，求切线DF的长．

23. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（，），直线l过点P，且倾斜角为，方程=1所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．
（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．

24. 难度：中等

已知实数a＞0且函数f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域为P={y|-3a²≤y≤3a²}．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若至少存在一个实数m，使得f（m）-f（1-m）≤n成立，求实数n的取值范围．