2013年黑龙江省牡丹江地区六市县高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=log₂（x-2）}，B={x|x²-5x+4＜0}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．（2，4）
C．（-2，1）
D．（4，+∞）

2. 难度：中等

复数 （1+i）z=i（ i为虚数单位），则=（ ）
A．-
B．
C．-
D．i

3. 难度：中等

平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．∃λ∈R，
D．存在不全为零的实数λ₁，λ₂，

4. 难度：中等

阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

5. 难度：中等

已知下列命题：
①命题“∃x∈R，x²+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x²+1＜3x”；
②“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；
③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题．
④已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”为真命题． 
其中真命题的个数为（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足log₃a_n+1=log₃a_n+1（n∈N^*），且a₂+a₄+a₆=9，则的值是（ ）
A．-5
B．
C．5
D．

7. 难度：中等

空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设{a_n}为公比q＞1的等比数列，若a₂₀₀₉和a₂₀₁₀是方程4x²-8x+3=0的两根，则a₂₀₁₁+a₂₀₁₂=（ ）
A．18
B．10
C．25
D．9

9. 难度：中等

已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在球O内任取一点P，使得P点在球O的内接正方体中的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log₂（x+1），则f（-2011）+f（2012）的值为（ ）
A．-1
B．-2
C．2
D．1

12. 难度：中等

如图所示，F₁和F₂分别是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则离心率为（ ）

A．
B．
C．+1
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知抛物线y=ax²的准线方程为y=-2，则实数a的值为    ．

14. 难度：中等

已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为    ．

15. 难度：中等

如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x²+y²=    ．

16. 难度：中等

已知点M（a，b）在不等式组确定的平面区域内运动，则动点N（a+b，a-b）所在平面区域的面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）求证：AD⊥平面PQB；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且，求四棱锥M-ABCD的体积．

19. 难度：中等

某大学高等数学老师这学期分别用A，B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？
（Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”

	甲班	乙班	合计
优秀
不优秀
合计

下面临界值表仅供参考：

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：，其中n=a+b+c+d）

20. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

22. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若，求EC的长．

23. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

四、填空题

24. 难度：中等

《选修4-5：不等式选讲》
已知函数．f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．