《导数及其应用》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京师范大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上的平均值是（ ）
A．
B．f（x）d
C．f（x）d
D．f（x）d

3. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=2+cosx，且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x-x²）＞0的实数x的取值范围为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，1+）
C．（1-，1）
D．（1-，1+）

4. 难度：中等

曲线y=x³+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A．-9
B．-3
C．9
D．15

5. 难度：中等

曲线y=sinx（0≤x≤）与两坐标轴所围成图形的面积为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3

6. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

7. 难度：中等

由抛物线y²=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积是（ ）
A．18
B．
C．
D．16

8. 难度：中等

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点a=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i…＜x_n=b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x_i-1，x_i]上任取一点ξ_i（i=1，2，…，n），作和式（其中△x为小区间的长度），那么S_n的大小（ ）
A．与f（x）和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξ_i的取法无关
B．与f（x）和区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξ_i的取法无关
C．与f（x）和区间[a，b]和分点的个数n，ξ_i的取法都有关
D．与f（x）和区间[a，b]和ξ_i取法有关，与分点的个数n无关

9. 难度：中等

曲线y=x²与直线y=x所围成的平面图形绕x轴转一周得到旋转体的体积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π

10. 难度：中等

下列值等于1的积分是（ ）
A．xd
B．（x+1）d
C．1d
D．d

11. 难度：中等

已知函数y=2cosx（0≤x≤2π）的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）
A．4
B．8
C．2π
D．4π

12. 难度：中等

曲线y=e^x+2x在点A（0，1）处的切线方程为（ ）
A．3x-y+1=0
B．3x+y+1=0
C．3x-y-1=0
D．3x+y-1=0

二、填空题

13. 难度：中等

某同学由于求不出积分的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分．他用计算机分别产生10个在[1，e]上的均匀随机数x_i（1≤i≤10）和10个在[0，1]上的均匀随机数y_i（1≤i≤10），其数据记录为如下表的前两行

x	2.50	1.01	1.90	1.22	2.52	2.17	1.89	1.96	1.36	2.22
y	0.84	0.25	0.98	0.15	0.01	0.60	0.59	0.88	0.84	0.10
lnx	0.92	0.01	0.64	0.20	0.92	0.77	0.64	0.67	0.31	0.80

则依此表格中的数据，可得积分的一个近似值为    ．

14. 难度：中等

^∫2（3x²+k）dx=10，则k=    ．

15. 难度：中等

已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+2，则f（x）=    ．

16. 难度：中等

求曲线y=-x³+x²+2x与x轴所围成的图形的面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

18. 难度：中等

已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1时的极值为0．求常数a，b的值并求f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y．
（1）设∠PBO=α，把y表示成α的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

21. 难度：中等

计算下列定积分的值
（1）∫（4x-x²）dx；
（2）∫（x-1）⁵dx；
（3）∫（x+sinx）dx；
（4）∫cos²xdx．

22. 难度：中等

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）