2013年北京市门头沟区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²≤4}，B={x|x＜1}，则集合A∪B等于（ ）
A．{x|1≤x≤2}
B．{x|x≥1}
C．{x|x≤2}
D．R {x|x≥-2}

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=1，则a₁₂的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64

3. 难度：中等

为得到函数y=sin（π-2x）的图象，可以将函数y=sin（2x-）的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位

4. 难度：中等

如果f（x）的定义域为R，f（x+2）=f（x+1）-f（x），若f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，则f（3）等于（ ）
A．1
B．lg3-lg2
C．-1
D．lg2-lg3

5. 难度：中等

如图所示，为一几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A．1
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）²-c²=4，且C=60°，则ab的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=的图象与直线y=k（x+2）-2恰有三个公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（0，2]
C．（-∞，2）
D．（2，+∞）

8. 难度：中等

点P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上的一点，过焦点F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为M点，则点M的轨迹是（ ）

A．抛物线
B．椭圆
C．双曲线
D．圆

二、填空题

9. 难度：中等

复数在复平面内对应的点到原点的距离是    ．

10. 难度：中等

在给定的函数中：①y=-x³；②y=2^-x；③y=sinx；④y=，既是奇函数又在定义域内为减函数的是    ．

11. 难度：中等

用计算机产生随机二元数组成区域，对每个二元数组（x，y），用计算机计算x²+y²的值，记“（x，y）满足x²+y²＜1”为事件A，则事件A发生的概率为    ．

12. 难度：中等

如右图所示的程序框图，执行该程序后输出的结果是    ．

13. 难度：中等

为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为S₁，S₂，S₃，则它们的大小关系为    ．（用“＞”连结）

14. 难度：中等

设向量=（a₁，a₂），=（b₁，b₂），定义一种向量积：⊗=（a₁，a₂）⊗（b₁，b₂）=（a₁b₁，a₂b₂）．已知=（，3），=（，0），点P在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足=⊗+（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin²x+cosxcos（-x）．
（Ⅰ）求f （）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及值域．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中b∈R．
（Ⅰ）f（x）在x=-1处的切线与x轴平行，求b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

17. 难度：中等

如图已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若PC=PD=1，CD=，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．

18. 难度：中等

某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．
（ I）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；
（ II）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率．

19. 难度：中等

已知椭圆与双曲线x²-y²=1有相同的焦点，且离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，若=2，求△AOB的面积．

20. 难度：中等

已知数列{A_n}的前n项和为S_n，a₁=1，满足下列条件
①∀_n∈N^*，a_n≠0；
②点P_n（a_n，S_n）在函数f（x）=的图象上；
（I）求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n；
（II）求证：0≤|P_n+1P_n+2|-|P_nP_n+1|＜1．