2012-2013学年广东省肇庆市广宁中学高三（下）2月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={y|y=2^x，x∈R}，则∁_UA=（ ）
A．∅
B．（0，+∞）
C．（-∞，0]
D．R

2. 难度：中等

已知a，b是实数，则“”是“a+b＞5”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

4. 难度：中等

已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（ ）
A．若l∥m，m⊂α，则l∥α
B．若l∥α，m⊂α，则l∥m
C．若l⊥m，l⊥α，则m⊥α
D．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m

5. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数=（ ）
A．
B．
C．-
D．-

6. 难度：中等

函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度而得到
B．向右平移个单位长度而得到
C．向左平移个单位长度而得到
D．向右平移个单位长度而得到

7. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组，则2x+4y的最小值是（ ）
A．6
B．4
C．-2
D．-6

8. 难度：中等

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．
其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

函数的导数为    ．

10. 难度：中等

在递增等比数列{a_n}中，a₂=2，a₄-a₃=4，则公比q=    ．

11. 难度：中等

某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）

	合唱社	粤曲社	书法社
高一	45	30	a
高二	15	10	20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，b=3，若△ABC的面积为，则c=    ．

13. 难度：中等

已知F₁，F₂是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，则双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若 PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．
（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；
（2）若∥，求sin（2θ+）的值．

16. 难度：中等

某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．

17. 难度：中等

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
（1）求证：BC∥平面C₁B₁N；
（2）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁，并求的值．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃＞a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且 （n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求证：c_n+1≤c_n．

19. 难度：中等

已知椭圆c：=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F₁A上的一个动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程=f（x）-（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．