2013年辽宁省大连八中高考适应性考试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x||x-1|＜1}，N={y|y=log₂（x²+2x+3）}则M∩N=（ ）
A．{x||1≤x＜2}
B．{x||0＜x＜2}
C．{x||1＜x＜2}
D．φ

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）
A．-1
B．-i
C．i
D．1

3. 难度：中等

已知向量，，则的最大值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．9

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若2a₈=6+a₁₁，则S₉的值等于（ ）
A．54
B．45
C．36
D．27

5. 难度：中等

下列四个命题中的真命题为（ ）
A．∃x∈R，使得sinx+cosx=1.5
B．∀x∈R，总有x²-2x-3≥0
C．∀x∈R，∃y∈R，y²＜
D．∃x∈R，∀y∈R，y•x=y

6. 难度：中等

要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

7. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图（单位m）所示，则这个几何体的外接球的表面积（单位：m²）等于（ ）

A．
B．
C．8π
D．16π

8. 难度：中等

按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件可为（ ）

A．k≥8
B．k＜8
C．k＜16
D．k≥16

9. 难度：中等

函数 f（x）=e^-xsinx的单调递增区间（ ）（k∈Z）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为抛物线的顶点．则△ABO是一个（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．不等边锐角三角形
D．钝角三角形

11. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³-sinx，（x∈R），对于任意的x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，下面对f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的值有如下几个结论，其中正确的是（ ）
A．零
B．负数
C．正数
D．非以上答案

12. 难度：中等

已知函数，则f（2011）=（ ）
A．2012
B．2011
C．2010
D．2009

二、填空题

13. 难度：中等

用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是    ．

14. 难度：中等

已知实数x，y满足，则x-3y的最大值为    ．

15. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是    ．

16. 难度：中等

两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则两人能会面的概率为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A．
（1）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围；
（2）若，a+c=20，求b的值．

18. 难度：中等

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，[40，50），[50，60），…[90，100]后画出如下图的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的合格率（60分及60分以上为合格）；
（3）把90分以上（包括90分）视为成绩优秀，那么从成绩是60分以上（包括60分）的学生中选一人，求此人成绩优秀的概率．

19. 难度：中等

如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=2．求证：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点
构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁．
（ⅰ）求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；
（ⅱ）求△OA₁B面积的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）若f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），求F（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁，x，x₂成等差数列，试探究G'（x）值的符号．

22. 难度：中等

如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，
且AE=AF．
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线C：（θ为参数）和定点，F₁，F₂是此圆锥曲线的左、右焦点．
（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF₂的极坐标方程；
（2）经过点F₁，且与直线AF₂垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF₁|-|NF₁||的值．

24. 难度：中等

设minA表示数集A中的最小数；设maxA表示数集A中的最大数．
（1）若a，b＞0，，求证：；
（2）若，，，求H的最小值．