2013年北京市房山区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若￢p∨q是假命题，则（ ）
A．p∧q是假命题
B．p∨q是假命题
C．p是假命题
D．￢q是假命题

2. 难度：中等

下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A．y=x-1
B．y=tan
C．
D．y=x³

3. 难度：中等

为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上（ ）
A．所有点向右平移1个单位长度
B．所有点向下平移1个单位长度
C．所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D．所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）

4. 难度：中等

设平面向量=（1，2），=（-2，y），若∥，则|2-|等于（ ）
A．4
B．5
C．
D．

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图．则输出的所有点（x，y）（ ）

A．都在函数y=x+1的图象上
B．都在函数y=2x的图象上
C．都在函数y=2^x的图象上
D．都在函数y=2^x-1的图象上

6. 难度：中等

已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN|的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．9

8. 难度：中等

定义运算[][]=[]，称[]=[][]为将点（x，y）映到点（x′，y′）的一次变换．若=[][]把直线y=x上的各点映到这点本身，而把直线y=3x上的各点映到这点关于原点对称的点．则p，q的值分别是（ ）
A．p=3，q=3
B．p=3，q=-2
C．p=3，q=1
D．p=1，q=1

二、填空题

9. 难度：中等

在复平面内，复数i（2-i）对应的点的坐标为    ．

10. 难度：中等

已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=    ，tan（A+）=    ．

11. 难度：中等

数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且a₃是a₁，a₉的等比中项，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

12. 难度：中等

实数a，b满足2a+b=5，则ab的最大值为    ．

13. 难度：中等

抛物线C：y²=2px的焦点坐标为，则抛物线C的方程为    ．

14. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若，则该函数的对称中心为    ，计算=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且图象过点．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）设，求函数g（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCDAF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ） 求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ） 求证：AC∥平面BEF；
（Ⅲ） 求四面体BDEF的体积．

17. 难度：中等

一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b．
（Ⅰ）求事件b=3a的概率；
（Ⅱ）求事件“点（a，b）满足a²+（b-5）²≤9”的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax-2）e^x在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[m，m+1]上的最小值；
（Ⅲ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的焦点坐标为，离心率为．直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以PQ为直径的圆过点D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足，T_n为{b_n}的前n项和，试比较T_n与的大小，并说明理由．