2013年江苏省宿迁市泗阳中学高考数学一模试卷（普通班）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合P={-4，-2，0，2，4}，Q={x|-1＜x＜3}，则P∩Q=    ．

2. 难度：中等

若复数z₁=a-i，z₂=1+i（i为虚数单位），且z₁•z₂为纯虚数，则实数a的值为    ．

3. 难度：中等

如图所示的流程图中，输出的结果是    ．

4. 难度：中等

为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=    ．

5. 难度：中等

若的值为    ．

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前13项之和为，则tan（a₆+a₇+a₈）等于    ．

7. 难度：中等

已知平面区域U={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为     ．

8. 难度：中等

若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是    ．

9. 难度：中等

设命题p：|4x-3|≤1；命题q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知圆x²+y²=m与圆x²+y²+6x-8y-11=0相交，则实数m的取值范围为    ．

11. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=2DB，则的值为    ．

12. 难度：中等

若直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a=    ．

13. 难度：中等

设a∈R，若x＞0时均有[（a-1）x-1]（x²-ax-1）≥0，则a=    ．

14. 难度：中等

如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当最小时，CN=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若，且，求a+c的值；
（2）若存在实数m，使得2sinA-sinC=m成立，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．证明
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PDC．

17. 难度：中等

如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB=3米，AD=2米．
（I）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；
（Ⅱ）若x∈[3，4）（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

18. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．
（1）求椭圆的方程；
（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；
（3）过点A作两条斜率分别为k₁，k₂的直线交椭圆于D，E两点，且k₁k₂=2，求证：直线DE恒过一个定点．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）当a=1时，求y=g（x）-f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（3）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项，公比的等比数列，设b_n+15log₃a_n=t，常数t∈N^*，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．
求证：BT平分∠OBA．

22. 难度：中等

已知矩阵，若矩阵AB对应的变换把直线l：x+y-2=0变为直线l'，求直线l'的方程．

23. 难度：中等

在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被⊙C截得的弦AB的长度．

24. 难度：中等

已知a₁，a₂，…，a_n均为正数，且a₁•a₂…a_n=1，求证：（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n）≥3ⁿ．

25. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体AC₁中，点P、Q分别在棱BC、CD上，满足B₁Q⊥D₁P，且．
（1）试确定P、Q两点的位置．
（2）求二面角C₁-PQ-A大小的余弦值．

26. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n项和．求证：≤．