2013年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数i（3+4i）的虚部为（ ）
A．3
B．3i
C．4
D．4i

2. 难度：中等

设向量=（x，1），=（4，x），且，方向相反，则x的值是（ ）
A．2
B．-2
C．±2
D．0

3. 难度：中等

展开式中的常数项是（ ）
A．6
B．4
C．-4
D．-6

4. 难度：中等

已知数列{a_n}，则“{a_n}为等差数列”是“a₁+a₃=2a₂”的（ ）
A．充要条件
B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在平面区域内任取一点P（x，y），若（x，y）满足2x+y≤b的概率大于，则b的取值范围是（ ）
A．（-∞，2）
B．（0，2）
C．（1，3）
D．（1，+∞）

7. 难度：中等

用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是（ ）
A．18
B．36
C．54
D．72

8. 难度：中等

已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=4时，存在直线l与图象G恰有5个公共点；
②若对于∀m∈[0，1]，直线l与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；
③∀m∈（1，+∞），∃a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

二、填空题

9. 难度：中等

圆ρ=2cosθ的半径是    ．

10. 难度：中等

已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为，则a的值等于    ．

11. 难度：中等

如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D，若AD=4，BD=3，OC=4，则CD的长为    ．

12. 难度：中等

若双曲线C：的离心率为，则抛物线y²=8x的焦点到C的渐近线距离是    ．

13. 难度：中等

曲线在处的切线方程是    ，在x=x处的切线与直线y=x和y轴围成三角形的面积为    ．

14. 难度：中等

在圆x²+y²=25上有一点P（4，3），点E，F是y轴上两点，且满足|PE|=|PF|，直线PE，PF与圆交于C，D，则直线CD的斜率是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且．
（Ⅰ）求A的度数；
（Ⅱ）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S．

16. 难度：中等

国家对空气质量的分级规定如下表：

污染指数	0～50	51～100	101～150	151～200	201～300	＞300
空气质量	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：

34	140	18	73	121	210	40	45	78	23	65	79	207	81	60
42	101	38	163	154	22	27	36	151	49	103	135	20	16	48

根据以上信息，解决下列问题：
（Ⅰ）写出下面频率分布表中a，b，x，y的值；
（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX．

频率分布表
分组	频数	频率
[0，50]	14
（50，100]	a	x
（100，150]	5
（150，200]	b	y
（200，250]	2
合计	30	1

17. 难度：中等

如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．
（Ⅰ）求证：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．

18. 难度：中等

已知函数 ．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性．

19. 难度：中等

已知椭圆C：的短轴的端点分别为A，B，直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，） 满足m≠0，且．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；
（Ⅲ）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．记集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c_n}．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式，并写出数列{c_n}的前4项；
（Ⅱ）把集合∁_UA中的元素从小到大依次排列构成数列{d_n}，求数列{d_n}的通项公式，并说明理由；
（Ⅲ）求数列{c_n}的前n项和S_n．