2013年浙江省宁波市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={-1，0，1}，N={x|x²≤x}，则M∩N=（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{-1，1}
D．{-1，0，0}

2. 难度：中等

函数是（ ）
A．周期为π的偶函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数
D．周期为2π的奇函数

3. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知点P（3，3），Q（3，-3），O为坐标原点，动点M（x，y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是（ ）
A．12
B．16
C．32
D．64

5. 难度：中等

已知a，b∈R，条件p：“a＞b”，条件q：“2^a＞2^b-1”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头赢剪刀”、“剪刀赢布”、“布赢石头”．现有甲、乙两人玩这个游戏，共玩3局，每一局中每人等可能地独立选择一种手势．设甲赢乙的局数为ξ，则随机变量ξ的数学期望是（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

已知数列{a_n}是1为首项、2为公差的等差数列，{b_n}是1为首项、2为公比的等比数列．设，T_n=c₁+c₂+…+c_n（n∈N*），则当T_n＞2013时，n的最小值是（ ）
A．7
B．9
C．10
D．11

8. 难度：中等

已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（ ）
A．3f（ln2）＞2f（ln3）
B．3f（ln2）=2f（ln3）
C．3f（ln2）＜2f（ln3）
D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定

10. 难度：中等

三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数的虚部是    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的k值是    ．

13. 难度：中等

的展开式的常数项是    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）-ax，x∈[-2，2]为偶函数，则实数a的值为    ．

15. 难度：中等

从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有    种．

16. 难度：中等

已知曲线C₁：y=x²+4和C₂：y=2x-x²，直线l₁与C₁、C₂分别相切于点A、B，直线l₂（不同于l₁）与C₁、C₂分别相切于点C、D，则AB与CD交点的横坐标是    ．

17. 难度：中等

在直角坐标平面上，已知点A（0，2），B（0，1），D（t，0）（t＞0）．点M是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设函数（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）在处取得最大值，求的值．

19. 难度：中等

设公比大于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足b₁=1，，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若数列{C_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

21. 难度：中等

如图，已知椭圆E：的离心率是，P₁、P₂是椭圆E的长轴的两个端点（P₂位于P₁右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P₂右侧的一点，且满足．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

22. 难度：中等

设函数f（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：
①对于任意实数x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，恒成立；
②对于任意实数x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，恒成立．