2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷14（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．6

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．1-2i
B．
C．1
D．1+2i

3. 难度：中等

已知，且u=x²+y²-4x-4y+8，则u的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知p：x是偶数；q：（x，0）是函数的对称中心，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是（ ）
A．若a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α∥β
B．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β
C．若a∥α，b⊂α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

6. 难度：中等

如图（1）、（2），它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为（ ）
A．（1）n³≥1000？（2）n³＜1000
B．（1）n³≤1000？（2）n³≥1000
C．（1）n³＜1000？（2）n³≥1000
D．（1）n³＜1000？（2）n³＜1000

7. 难度：中等

已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足则点P一定为三角形ABC的（ ）
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点（非重心）
C．重心
D．AB边的中点

8. 难度：中等

设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m 同余．记为a≡b（mod m）．已知a=2+C+C•2+C•2²+…+C•2¹⁹，b≡a（mon 10），则b的值可以是（ ）
A．2015
B．2012
C．2008
D．2006

9. 难度：中等

考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（ ）
A．f（1）＜ef（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）
B．f（1）＞ef（0），f（2013）＞e²⁰¹³f（0）
C．f（1）＞ef（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）
D．f（1）＜ef（0），f（2013）＜e²⁰¹³f（0）

二、填空题

11. 难度：中等

若函数，则f（x）的定义域是    ．

12. 难度：中等

若，则sin2α=    ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如下，则此几何体的体积是    ．

14. 难度：中等

已知f（x）=tanx-cos（x+m）为奇函数，且m满足不等式m²-3m-10＜0，则m的值为    ．

15. 难度：中等

等差数列{a_n}有两项a_m=，a_k=，则该数列前mk项之和是    ．

16. 难度：中等

已知椭圆c：+y²=1=1的两焦点为F₁，F₂，点P（x，y）满足0＜+y²＜1，则|PF₁|+|PF₂|的取值范围为    ．

17. 难度：中等

对于已知的x，y，记f（x，y）=min{27^-x，27^x-y，27^y-1}，当x∈（0，1），y∈（0，1）时，f（x，y）的最大值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知，设函数．
（Ⅰ）当，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）当时，若f（x）=8，求函数的值．

19. 难度：中等

在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x、y，记ξ=|x-2|+|x-y|．
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

21. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设直线y-kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R
（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．