2013年广东省韶关市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜-1}，则如图中阴影部分表示的集合为
（ ）

A．{x|-3＜x＜-1}
B．{x|-1≤x＜0}
C．{x|-3＜x＜0}
D．{x|-1＜x＜0}

2. 难度：中等

若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+，则a+b=（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

3. 难度：中等

已知f（x）=cos2x+2sinxcosx，则f（）（ ）
A．
B．-
C．
D．-

4. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

5. 难度：中等

已知，圆x²+y²=π²内的曲线y=-sinx，x∈[-π，π]与x轴围成的阴影部分区域记为Ω（如图），随机往圆内投掷一个点A，则点A落在区域Ω的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题为“若a≤b，则2^a≤2^b-1”；
③“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是“∃x∈R，x²+1≤1”；
④等比数列{a_n}中，首项a₁＜0，则数列{a_n}是递减数列的充要条件是公比q＞1；
其中不正确的命题个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

7. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的奇函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=log₂（x+1）时，f（-2013）+f（2012）的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

8. 难度：中等

.将高一（6）班52名学生分成A，B两组参加学校组织的义务植树活动，A组种植150棵大叶榕树苗，B组种植200棵红枫树苗．假定A，B两组同时开始种植．每名学生种植一棵大叶榕树苗用时小时，种植一棵枫树苗用时小时．完成这次植树任务需要最短时间为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知平面向量，，||=1，||=2，⊥（-）；则cos＜，＞的值是    ．

10. 难度：中等

执行如图的程序框图，若p=4，则输出的S=    ．

11. 难度：中等

设点P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）与圆x²+y²=a²+b²在第一象限的交点，其中F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF₂F₁=3，则双曲线的离心率为    ．

12. 难度：中等

已知∀x∈R，使不等式log₂（4-a）+3≤|x+3|+|x-1|成立，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

.下面给出四种说法：
①设a、b、c分别表示数据15、17、14、10、15、17、17、16、14、12的平均数、中位数、众数，则a＜b＜c；
②在线性回归模型中，相关指数R²表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R²越接近于1，表示回归的效果越好
③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；
④设随机变量ξ服从正态分布N（4，2²），则P（ξ＞4）=．
其中正确的说法有    （请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）

14. 难度：中等

在极坐标系中，过点A（1，-）引圆ρ=8sinθ的一条切线，则切线长为    ．

15. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA+acosC=0
（1）求C的值；
（2）若cosA=，c=5，求sinB和b的值．

17. 难度：中等

甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为与，投中得1分，投不中得0分．
（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率．

18. 难度：中等

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B-EF-A的余弦．

19. 难度：中等

如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x²（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，设点Q₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影是P₂；…；依此下去，得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃-Q_n，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求直线PQ₁的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记Q_n到直线P_nQ_n+1的距离为d_n，求证：n≥2时，++…＞3．

20. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y2=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），点M在x轴上方，直线F₁M与抛物线C相切．
（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a≥0，b，c∈R
（1）若f（）=0，求f（x）的单调区间；
（2）设M表示f′（0）与f′（1）两个数中的最大值，求证：当0≤x≤1时，|f′（x）|≤M．