2013年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分也不必要条件

2. 难度：中等

集合A={x|2012＜x＜2013}，B={x|x＞a}可满足A∩B=ϕ．则实数a的取值范围（ ）
A．{a|a≥2012 }
B．{a|a≤2012 }
C．{a|a≥2013}
D．{a|a≤2013 }

3. 难度：中等

采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）
A．15
B．10
C．9
D．7

4. 难度：中等

把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

执行下面的程序框图，如果输入m=72，n=30，则输出的n是（ ）
A．12
B．6
C．3
D．0

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，首项a₁=0，公差d≠0，若a_k=a₁+a₂+a₃+…+a₁₀，则k=（ ）
A．45
B．46
C．47
D．48

7. 难度：中等

设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α
B．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β
C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

8. 难度：中等

给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、兰），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法（ ）
A．6种
B．12种
C．24种
D．48种

二、填空题

9. 难度：中等

函数y=lnx在点A（1，0）处的切线方程为    ．

10. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x-y的取值范围是    ．

11. 难度：中等

若曲线与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a²．则正实数a=    ．

12. 难度：中等

已知点P在抛物线y²=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为    ．

13. 难度：中等

已知在三角形ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=θ，若D为BC的三等分点〔靠近点B一侧）．则的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知直线l方程是（t为参数），以坐标原点为极点．x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2，则圆C上的点到直线l的距离最小值是    ．

15. 难度：中等

如图，半径是的ΘO中，AB是直径，MN是过点A的圆O的切线，AC，BD相交于点P，且∠DAN=30°，CP×PA=12，又PD＞PB，则线段PD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（I）求角A的大小；
（II）若且△ABC的面积为，求b十c的值．

17. 难度：中等

广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享．现随机抽取50位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：

幸福级别	非常幸福	幸福	不知道	不幸福
幸福指数（分）	90	60	30
人数（个）	19	21	7	3

（I）求这50位市民幸福指数的数学期望（即平均值）；
（11）以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数．求ξ的分布列；
（III）从这50位市民中，先随机选一个人．记他的幸福指数为m，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为n，求n＜m+60的概率P．

18. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中．侧梭长均为4．底边AC=4．AB=2，BC=2，D．E分别为PC．BC的中点．
〔I）求证：平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅲ）求二面角C-AD-E的余弦值．

19. 难度：中等

如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F₁为椭圆的左焦点且=1．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

20. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，
（I）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=-a_n，P=，求不超过P的最大整数的值．

21. 难度：中等

已知函数．
（I）若f（x）=f₁（x）+f₂（x）-bf₂（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f₁（x）+f₂（x）在R上的单调区间；
（III ）对于给定的实数∃x∈[0，1]，对∀x∈[0，1]，有|f₁（x）-f₂（x）|＜1成立．求a的取值范围．