2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷15（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|y=ln（x+1）}，则∁_RA=（ ）
A．∅
B．（-∞，-1）
C．（-1，+∞）
D．（-∞，-1]

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1

3. 难度：中等

若函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，则f′（x）＞0是函数f（x）为增函数的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知正数x、y满足，则的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数，其中与f（x）=sinx+cosx构成“互为生成”函数的为（ ）
A．f₂（x）=sin
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知a₁，，……是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a_n}的第100项等于（ ）
A．2⁵⁰⁵⁰
B．2⁴⁹⁵⁰
C．2¹⁰⁰
D．2⁹⁹

7. 难度：中等

设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

8. 难度：中等

将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（ ）
A．480种
B．360种
C．420种
D．320种

9. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数，则方程f（2x²+x）=a（a＞2）的根的个数不可能为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

二、填空题

11. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则它的体积为    ．

12. 难度：中等

执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为    ．

13. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15，则数列的前2013项和为    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，则=    ．

15. 难度：中等

已知直线与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为    ．

16. 难度：中等

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），抛物线E以坐标原点为顶点，F₂为焦点．直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点若F₁B⊥F₂B，则|AF₂|-|BF₂|=    ．

17. 难度：中等

已知O为△ABC的外心，||=16，||=10，若，且32x+25y=25，则||=    •

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的范围．

19. 难度：中等

杭州市教育局开展支教活动，有五位高级教师被随机分配到A，B，C三个所不同的学校，且每所学校至少分配一名教师．
（1）求甲、乙两位教师同时分配到一个中学的概率；
（2）设随机变量X为这五位教师分到A中学的人数，求X的分布列和期望．

20. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知动点P在以F₁（0，）、F₂（0，-）为焦点的椭圆上C，且cos∠F₁PF₂的最小值为0，直线l与y轴交于点Q（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx-f（x）f'（x）
（1）求g（x）的最大值及相应x的值；
（2）对任意的正数x，恒有，求实数m的最大值．