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2013年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
一、选择题
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1. 难度:中等
设全集U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},则∁U(A∩B)等于( )
A.∅
B.{0,1}
C.{0,1,4}
D.{0,1,2,3,4}
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2. 难度:中等
在复平面内,复数z1的对应点是Z1(1,1),z2的对应点是Z2(1,-1),则z1•z2=( )
A.1
B.2
C.-i
D.i
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3. 难度:中等
在极坐标系中,圆心为manfen5.com 满分网,且过极点的圆的方程是( )
A.ρ=2sinθ
B.ρ=-2sinθ
C.ρ=2cosθ
D.ρ=-2cosθ
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4. 难度:中等
如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值,则判断框内可以填入( )
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A.k≤10
B.k≤16
C.k≤22
D.k≤34
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5. 难度:中等
manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,c=log32,则( )
A.b<a<c
B.a<b<c
C.c<b<a
D.c<a<b
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6. 难度:中等
对于直线m,n和平面α,β,使m⊥α成立的一个充分条件是( )
A.m⊥n,n∥α
B.m∥β,β⊥α
C.m⊥β,n⊥β,n⊥α
D.m⊥n,n⊥β,β⊥α
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7. 难度:中等
已知正六边形ABCDEF的边长是2,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是( )
A.manfen5.com 满分网
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8. 难度:中等
已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数.若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是( )
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二、填空题
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9. 难度:中等
如图是甲,乙两组各6名同学身高(单位:cm)数据的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,则 manfen5.com 满分网    manfen5.com 满分网. (填入:“>”,“=”,或“<”)
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10. 难度:中等
(2x-1)5的展开式中x3项的系数是    .(用数字作答)
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11. 难度:中等
在△ABC中,BC=2,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,则AB=    ;△ABC的面积是   
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12. 难度:中等
如图,AB是半圆O的直径,P在AB的延长线上,PD与半圆O相切于点C,AD⊥PD.若PC=4,PB=2,则CD=   
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13. 难度:中等
在等差数列{an}中,a2=5,a1+a4=12,则an=    ;设manfen5.com 满分网,则数列{bn}的前n项和Sn=   
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14. 难度:中等
已知正数a,b,c满足a+b=ab,a+b+c=abc,则c的取值范围是   
三、解答题
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15. 难度:中等
如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且manfen5.com 满分网.将角α的终边按逆时针方向旋转manfen5.com 满分网,交单位圆于点B.记A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若manfen5.com 满分网,求x2
(Ⅱ)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.若S1=2S2,求角α的值.

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16. 难度:中等
某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励.
(Ⅰ)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;
(Ⅱ)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X的分布列和数学期望.
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17. 难度:中等
如图1,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,面ABCD是直角梯形,M为侧棱PD上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图2所示.
(Ⅰ)证明:BC⊥平面PBD;
(Ⅱ)证明:AM∥平面PBC;
(Ⅲ)线段CD上是否存在点N,使AM与BN所成角的余弦值为manfen5.com 满分网?若存在,找到所有符合要求的点N,并求CN的长;若不存在,说明理由.
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18. 难度:中等
如图,椭圆manfen5.com 满分网的左顶点为A,M是椭圆C上异于点A的任意一点,点P与点A关于点M对称.
(Ⅰ)若点P的坐标为manfen5.com 满分网,求m的值;
(Ⅱ)若椭圆C上存在点M,使得OP⊥OM,求m的取值范围.

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19. 难度:中等
已知函数manfen5.com 满分网,其中a∈R.
(Ⅰ)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值.
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20. 难度:中等
已知集合Sn={(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn是正整数1,2,3,…,n的一个排列}(n≥2),函数manfen5.com 满分网
对于(a1,a2,…an)∈Sn,定义:bi=g(ai-a1)+g(ai-a2)+…+g(ai-ai-1),i∈{2,3,…,n},b1=0,称bi为ai的满意指数.排列b1,b2,…,bn为排列a1,a2,…,an的生成列;排列a1,a2,…,an为排列b1,b2,…,bn的母列.
(Ⅰ)当n=6时,写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,-1,2,-3,4,3的母列;
(Ⅱ)证明:若a1,a2,…,an和a′1,a′2,…,a′n为Sn中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于Sn中的排列a1,a2,…,an,定义变换τ:将排列a1,a2,…,an从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换τ将排列a1,a2,…,an变换为各项满意指数均为非负数的排列.
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