2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷05（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|log₂x＜1，x∈R}，则∁_RA=（ ）
A．（-∞，0）∪[2，+∞）
B．（-∞，0]∪[2，+∞）
C．（2，+∞）
D．[2，+∞）

2. 难度：中等

已知两非零向量，，则“•=||||”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x²g（x）的部分图象可以为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体（ ）

A．外接球的半径为
B．体积为
C．表面积为
D．外接球的表面积为

5. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）-f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

6. 难度：中等

在二项式的展开式中，常数项等于（ ）
A．-45
B．-10
C．10
D．45

7. 难度：中等

函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．+
D．+2

9. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的中心为O，左焦点为F，A是椭圆上的一点，且，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数，若关于x的方程f（x²+2x）=a（a∈R）有六个不同的实根，则a的取值范围是（ ）
A．（2，8]
B．（2，9]
C．（8，9]
D．（8，9）

二、填空题

11. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的值为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n•a_n+1=1（n∈N^*），则a₁₀的值等于    ．

13. 难度：中等

在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的b值为16，则图中判断框内“？”处应填的数为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b²+c²-a²），则∠A=    ．

16. 难度：中等

某校开设7门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选1门．学校规定每位同学选3门，共有    种不同的选修方案（用数学解答）

17. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．
（Ⅰ）求函数f（x）的达式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC-csinA，求c的值．

19. 难度：中等

某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．

20. 难度：中等

在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）若异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°，求棱柱的高；
（Ⅱ）设D是BB₁的中点，DC₁与平面A₁BC₁所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值．

21. 难度：中等

如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3椭圆D：的焦距等于2|ON|，且过点．
（I） 求圆C和椭圆D的方程；
（Ⅱ） 设椭圆D与x轴负半轴的交点为P，若过点M的动直线l与椭圆D交于A、B两点，∠ANM=∠BNP是否恒成立？给出你的判断并说明理由．

22. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有成立，求实数m的取值范围．