2013年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2}，B={x∈Z|x²-5x+4＜0}，则A∩B=（ ）
A．{2}
B．{1，2}
C．{1，2，3}
D．{1，2，3，4}

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（ ）
A．2
B．
C．
D．-2

3. 难度：中等

已知函数，则=（ ）
A．4
B．
C．-4
D．-

4. 难度：中等

若命题”∃x∈R，x²+（a-1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-1，3]
B．（-1，3）
C．（-∞，-1]∪[3，+∞）
D．（-∞，-1）∪（3，+∞）

5. 难度：中等

过点A（1，2）且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为（ ）
A．x-2y+4=0
B．2x+y-7=0
C．x-2y+3=0
D．x-2y+5=0

6. 难度：中等

如图，正六边形ABCDEF中，=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，△ABC的面积，则△ABC的周长为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．

8. 难度：中等

如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为．则该几何体的俯视图可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

数列{a_n}的首项为3，{b_n}为等差数列，已知b₁=2，b₃=6，b_n=a_n+l-a_n（n∈N^*），则a₆=（ ）
A．30
B．33
C．35
D．38

10. 难度：中等

在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类“，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下三个结论：
①2013∈[3]
②-2∈[2]
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

如图的程序框图所示，若输入a=3，b=2，则输出的值是    ．

12. 难度：中等

将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=    ．

14. 难度：中等

已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是     ．

15. 难度：中等

如图，过点P的直线与圆⊙O相交于A，B两点．若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量 ，=（cosx，sinx）；
（1）若，求的值；
（2）若函数f（x）=，求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．

17. 难度：中等

某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的上一场进连续进球有关系”的调查活动，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”“不知道”态度的人数如表所示：

	有关系	无关系	不知道
40岁以下	800	450	200
40岁以上（含40岁）	100	150	300

（I）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值；
（II）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率；
（III）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出分数如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8，7、9.3、9.0、8.2，把这8个人打出的分数看做一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．

18. 难度：中等

如图，在边长为3的等边三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC边上的点，且满足AE=FC=CP=1，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，如图，使平面A₁EF⊥平面FEBP，连结A₁B，A₁P，
（1）求证：A₁E⊥PF；
（2）若Q为A₁B中点，求证：PQ∥平面A₁EF．

19. 难度：中等

已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求抛物线和双曲线标准方程；
（2）已知动直线m过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C，求证：存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值，并求出直线l的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中常数a∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上是单调减函数，求a的取值范围；
（3）f′（x）函数f（x）的导函数，问是否存在实数x∈（1，e），使得对任意实数a，都有成立？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

64个正数排成8行8列，如下所示：，其中a_ij表示第i行第j列的数．已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q，，a₂₄=1，．
（Ⅰ）求a₁₂和a₁₃的值；
（Ⅱ）记第n行各项之和为A_n（1≤n≤8），数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足，mb_n+1=2（a_n+mb_n）（m为非零常数），，且，求c₁+c₂+…+c₇的取值范围；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的a_n，记，设，求数列{B_n}中最大项的项数．