2003年广东省高考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知x∈（-，0），cosx=，则tan2x等于（ ）
A．
B．-
C．
D．-

3. 难度：中等

圆锥曲线的准线方程是（ ）
A．ρcosθ=-2
B．ρcosθ=2
C．ρsinθ=-2
D．ρsinθ=2

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知，a₂+a₅=4，a_n=33，则n为（ ）
A．48
B．49
C．50
D．51

5. 难度：中等

双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F₁、F₂，∠F₁MF₂=120°，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设函数若f（x）＞1，则x的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-2）∪（0，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

7. 难度：中等

函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

8. 难度：中等

已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4及直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得的弦长为时，则a等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A．2πR²
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数f（x）=sinx，x∈的反函数f^-1（x）=（ ）
A．-arcsinx，x∈[-1，1]
B．-π-arcsinx，x∈[-1，1]
C．-π+arcsinx，x∈[-1，1]
D．π-arcsinx，x∈[-1，1]

11. 难度：中等

已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD．DA和AB上的点P₂．P₃和P₄（入射角等于反射角），设P₄坐标为（x₄，0），若1＜x₄＜2，则tanθ的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

12. 难度：中等

棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．3π
B．4π
C．3
D．6π

二、填空题

13. 难度：中等

不等式的解集是    ．

14. 难度：中等

在的展开式中，x³的系数是    （用数字作答）

15. 难度：中等

在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB²+AC²=BC²”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则    ．”

16. 难度：中等

如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有    种．（以数字作答）

三、解答题

17. 难度：中等

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点．
（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；
（2）求点D₁到面BDE的距离．

18. 难度：中等

已知复数z的辐角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项．求|z|．

19. 难度：中等

已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

20. 难度：中等

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21. 难度：中等

已知常数a＞0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设a_n为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N^*）．
（1）证明对任意n≥1，有；
（2）假设对任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a的取值范围．