选修一综合试卷（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=f（x）在x=x处的导数f′（x）的几何意义是（ ）
A．在点（x，f（x））处与y=f（x）的曲线只有一个交点的直线的斜率
B．在点（x，f（x））处的切线与x轴的夹角的正切值
C．点（x，f（x））与点（0，0）的连线的斜率
D．在点（x，f（x））处的切线的倾斜角的正切值

2. 难度：中等

设f（x）在x附近有定义，f（x）是f（x）的极大值，则（ ）
A．在x附近的左侧，f（x）＜f（x）；在x附近的右侧，f（x）＞f（x）
B．在x附近的左侧，f（x）＞f（x）；在x附近的右侧，f（x）＜f（x）
C．在x附近的左侧，f（x）＜f（x）；在x附近的右侧，f（x）＜f（x）
D．在x附近的左侧，f（x）＞f（x）；在x附近的右侧，f（x）＞f（x）

3. 难度：中等

曲线y=x³+x-2在点A（1，0）处的切线方程是（ ）
A．4x-y=0
B．4x-y-2=0
C．4x-y-4=0
D．4x+y-4=0

4. 难度：中等

函数y=x³-3x²-9x+14的单调区间为（ ）
A．在（-∞，-1）和（-1，3）内单调递增，在（3，+∞）内单调递减
B．在（-∞，-1）内单调递增，在（-1，3）和（3，+∞）内单调递减
C．在（-∞，-1）和（3，+∞）内单调递增，在（-1，3）内单调递减
D．以上都不对

5. 难度：中等

函数f（x）=2x³-3x²-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12，-15
B．-4，-15
C．12，-4
D．5，-15

6. 难度：中等

已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（ ）
A．
B．0
C．
D．5

8. 难度：中等

设函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处均有极值，且f（-1）=-1，则a，b，c的值为（ ）
A．a=-，b=0，c=-
B．a=，b=0，c=-
C．a=-，b=0，c=
D．a=，b=0，c=

9. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的函数，如果函数f（x）在R上的导函数f′（x）的图象如图，则有以下几个命题：
（1）f（x）的单调递减区间是（-2，0）、（2，+∞），f（x）的单调递增区间是（-∞，-2）、（0，2）；
（2）f（x）只在x=-2处取得极大值；
（3）f（x）在x=-2与x=2处取得极大值；
（4）f（x）在x=0处取得极小值．
其中正确命题的个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{}的前n项为S_n则S₂₀₁₁的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

己知f（x）=-x³-x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（ ）
A．至少有三个实数根
B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根
D．无实根

二、填空题

13. 难度：中等

如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=    ；=    ．（用数字作答）

14. 难度：中等

曲线y=x³+x-2的一条切线平行于直线y=4x-1，则切点P的坐标为     ．

15. 难度：中等

已知f（x）=x³+3x²+a（a为常数），在[-3，3]上有最小值3，那么在[-3，3]上f（x）的最大值是    ．

16. 难度：中等

若函数f（x）=x³-mx²+2m²-5的单调递减区间为（-9，0），则m=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求证：直线4x+y+m=0不可能是函数f（x）图象的切线．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

20. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）上以点P（1，f（1））为切点的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

21. 难度：中等

已知定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立；
（Ⅲ）若过点P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲线y=f（x）的三条切线，试求点P对应平面区域的面积．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）令a=-1，设函数f（x）在x₁、x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．