2008-2009学年福建省厦门市第六中学高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法中正确的是（ ）
A．平面α和平面β可以只有一个公共点
B．相交于同一点的三直线一定在同一平面内
C．过两条相交直线有且只有一个平面
D．没有公共点的两条直线一定是异面直线

2. 难度：中等

cos15°的值是（ ）
A．．
B．．
C．．
D．．

3. 难度：中等

如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知△ABC中，三边的比为3：5：7，则△ABC中最大角是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么原△ABC是一个（ ）

A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形

6. 难度：中等

下列各式中，值为的是（ ）
A．sin15°cos15°
B．cos²-sin²
C．
D．

7. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A=，b=1，△ABC的面积为，则a的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．

8. 难度：中等

一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为（ ）
A．1：2：3
B．2：1：3
C．3：1：2
D．3：2：1

9. 难度：中等

在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m

10. 难度：中等

已知a、b是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α∥β，a⊂α，则a∥β；②若a、b与α所成角相等，则a∥b；③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ；④若a⊥α，a⊥β，则α∥β．其中正确的命题的序号是（ ）
A．①②
B．①④
C．②③
D．③④

11. 难度：中等

在△ABC中，=，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等边三角形

12. 难度：中等

下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）

A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

13. 难度：中等

求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x的最大值是     ．

15. 难度：中等

如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA₁=8．若AA₁B₁B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A₁C₁，B₁C₁的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为    ．

16. 难度：中等

如图，空间有两个正方形ABCD和ADEF，M，N分别为BD，AE的中点，则以下结论：
①MN⊥AD；
②MN与AB所成的角为60°
③MN∥平面ABF；
其中正确的是     ．（填上所有正确结论对应的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，求证：acosB+bcosA=c．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

19. 难度：中等

如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．

20. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

21. 难度：中等

已知α+2β=，α和β为锐角；
（1）若tan（α+β）=2+；求β；
（2）若tanβ=（2-）cot，满足条件的α和β是否存在？若存在，请求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC⊥平面ACD．
（I）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（II）求二面角B-AD-C的大小．