2010-2011学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

有下列命题：
①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；
②10的倍数一定是5的倍数；
③梯形不是矩形；
④方程x²=1的解x=±1．
其中使用逻辑连接词的命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

3. 难度：中等

给出以下四个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤-1，则x²+x+q=0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．
其中真命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④

4. 难度：中等

已知空间四边形ABCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则+（）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，“A=”是“sinA=”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

6. 难度：中等

已知两点F₁（-1，0）、F₂（1，0），且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

抛物线y=x²到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是（ ）
A．（，）
B．（1，1）
C．（，）
D．（2，4）

8. 难度：中等

若椭圆和双曲线的共同焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|的值为（ ）
A．
B．84
C．3
D．21

9. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上，且AM=，且动点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是（ ）

A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．直线

10. 难度：中等

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P：交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（ ）
A．
B．4
C．2
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“存在x∈R，使x²+1＜0”的否定是    ．

12. 难度：中等

向量，且∥则x-y=    ．

13. 难度：中等

在棱长为1的正方体AC₁中，则平面C₁BD与平面CB₁D₁所成角余弦值为    ．

14. 难度：中等

过双曲线右焦点垂直于X轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若△OAB是等腰直角三角形，则双曲线的离心率等于    ．

15. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线-=1与椭圆+y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：|4-x|≤6，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

17. 难度：中等

已知椭圆x²+2y²=4，AB为椭圆的弦且以M（1，1）为中点，求以AB为直径的圆的方程．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

19. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，
棱AA₁=2，M、N分别为A₁B₁、A₁AD的中点．
（ I ）求 ＞的值；
（II）求证：BN⊥平面C₁MN；
（ III）求点B₁到平面C₁MN的距离．

20. 难度：中等

已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足：∠APB=2θ，且|PA||PB|sin²θ=2．
（1）求动点P的轨迹Q的方程；
（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N．试问在x轴上是否存在定点C，使得为常数．若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．