2010-2011学年浙江省杭州高级中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a∈R，则“a＞2”是“a²＞2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．
B．∀x∈（3，+∞），x²＞2x+1
C．∃x∈R，x²+x=-1
D．

3. 难度：中等

设函数f（x）=x（x+1）（x+2）（x-3），则f（x）在x=0处的切线斜率为（ ）
A．0
B．-1
C．3
D．-6

4. 难度：中等

已知集合，则A∩C_RB=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

将函数y=sin（x-θ）的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则θ的一个可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=3sin（x+10）+5sin（x+70）的最大值是（ ）
A．5.5
B．6.5
C．7
D．8

7. 难度：中等

设函数f（x）=|x+2|+|x-a|的图象关于直线x=2对称，则a的值为（ ）
A．6
B．4
C．2
D．-2

8. 难度：中等

已知，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

10. 难度：中等

在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（-a，-b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数关于原点的中心对称点的组数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

已知，，则sinθ等于    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（0）=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin²x+2cosx-3，x∈R，则f（x）的值域为    ．

14. 难度：中等

函数的单调递减区间为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b²+c²=a²-bc，，则△ABC的面积等于    ．

16. 难度：中等

若对任意的实数a，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k的值为    ．

17. 难度：中等

如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“Л型函数”．则下列函数：①；②g（x）=sinx，x∈（0，π）；③h（x）=lnx，x∈[2，+∞），其中是“Л型函数”的序号为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数
（1）求f（x）的最大值及此时x的值；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2011）的值．

19. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若角，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x-2）²+1，x∈R
（1）求函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值．

21. 难度：中等

如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，△ABC外的地方种草，其余地方种花．若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，将比值称为“规划合理度”．
（1）试用a，θ表示S₁和S₂；
（2）若a为定值，当θ为何值时，“规划合理度”最小？并求出这个最小值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．