2009-2010学年安徽省芜湖一中高二（上）数学寒假作业（必修2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A．9π
B．10π
C．11π
D．12π

2. 难度：中等

对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画出作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A．2倍
B．倍
C．倍
D．倍

3. 难度：中等

已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ）
A．α∥β
B．α与β相交
C．α与β重合
D．α∥β或α与β相交

4. 难度：中等

下列四个说法
①a∥α，b⊂α，则a∥b；②a∩α=P，b⊂α，则a与b不平行；
③a⊄α，则a∥α；④a∥α，b∥α，则a∥b，其中错误的说法的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

过点M（-2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A．1
B．4
C．1或3
D．1或4

6. 难度：中等

直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．（0，0）
B．（0，1）
C．（3，1）
D．（2，1）

7. 难度：中等

圆x²+y²-2x+2y=0的周长是（ ）
A．
B．2π
C．
D．4π

8. 难度：中等

直线x-y+3=0被圆（x+2）²+（y-2）²=2截得的弦长等于（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

若实数x、y满足（x+2）²+y²=3，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（ ）
①点P关于x轴对称点的坐标是P₁（x，-y，z）  ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P₂（x，-y，-z）  ③点P关于y轴对称点的坐标是P₃（x，-y，z）  ④点P关于原点对称的点的坐标是P₄（-x，-y，-z）
A．3
B．2
C．1
D．0

11. 难度：中等

已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内

12. 难度：中等

直线x+（a²+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，]
B．[，π）
C．[0，]∪（，π）
D．[，）∪[，π）

13. 难度：中等

已知⊙C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，⊙C₂：x²+y²-4x-4y-2=0，则的位置关系为（ ）
A．相切
B．相离
C．相交
D．内含

14. 难度：中等

设y∈R，则点P（1，y，2）的集合为（ ）
A．垂直于xOz平面的一条直线
B．平行于xOz平面的一条直线；
C．垂直于y轴的一个平面
D．平行于y轴的一个平面

15. 难度：中等

若直线ℓ过点P（x，y）且与直线Ax+By+C=0垂直，则直线ℓ方程可表示为（ ）
A．A（x-x）+B（y-y）=0
B．A（x-x）-B（y-y）=0
C．B（x-x）+A（y-y）=0
D．B（x-x）-A（y-y）=0

16. 难度：中等

设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

17. 难度：中等

点（1，-1）在圆（x-a）²+（y-a）²=4的内部，则a取值范围是（ ）
A．-1＜a＜1
B．0＜a＜1
C．a＜-1或a＞1
D．a≠±1

18. 难度：中等

圆x²+y²-4x=0在点P（1，）处的切线方程为（ ）
A．x+y-2=0
B．x+y-4=0
C．x-y+4=0
D．x-y+2=0

19. 难度：中等

如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中；
（1）BM与ED平行；
（2）CN与BE是异面直线；
（3）CN与BM成60°；
（4）CN与AF垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．（1）（2）（3）
B．（2）（4）
C．（3）
D．（3）（4）

20. 难度：中等

一个各条棱都相等的四面体，其外接球半径R，则此四面体的棱长为（ ）
A．
B．
C．
D．

21. 难度：中等

点M（x，y）是⊙C：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）内且不为圆心的一点，则曲线（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r²与⊙C的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含

22. 难度：中等

如图，动点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上．过点P作垂直于平面BB₁D₁D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

23. 难度：中等

设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x-2|＜3，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

24. 难度：中等

若椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

25. 难度：中等

抛物线的准线方程是（ ）
A．
B．y=2
C．
D．y=-2

26. 难度：中等

已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A．-1＜k＜1
B．k＞0
C．k≥0
D．k＞1或k＜-1

27. 难度：中等

已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

28. 难度：中等

在同一坐标系中，方程a²x²+b²y²=1与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

29. 难度：中等

过点（2，-2）且与双曲线-y²=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A．-=1
B．-=1
C．-=1
D．-=1

30. 难度：中等

抛物线y²=2px与直线ax+y-4=0交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于（ ）
A．7
B．
C．6
D．5

31. 难度：中等

点P（-3，1）在椭圆=1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

32. 难度：中等

设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）在（ ）
A．圆x²+y²=2内
B．圆x²+y²=2上
C．圆x²+y²=2外
D．以上三种情况都有可能

33. 难度：中等

命题“对任意的x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，x³-x²+1≤0
B．存在x∈R，x³-x²+1≤0
C．存在x∈R，x³-x²+1＞0
D．对任意的x∈R，x³-x²+1＞0

34. 难度：中等

方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线

35. 难度：中等

以下三个命题：①分别在两个平面内的直线一定是异面直线；②过平面α的一条斜线有且只有一个平面与α垂直；③垂直于同一个平面的两个平面平行．其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

36. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁与平面BDD₁B₁所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

37. 难度：中等

命题p：若不等式x²+x+m＞0恒成立，则，命题q：在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件，则（ ）
A．p真q假
B．“p∧q”为真
C．“p∨q”为假
D．“¬p∨¬q”为真

38. 难度：中等

设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则cos∠F₁PF₂的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

39. 难度：中等

已知||=3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

40. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）与双曲线（a，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线的一条斜率大于0的渐近线，则l的斜率可以在下列给出的某个区间内，该区间可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

41. 难度：中等

已知曲线和直线ax+by+1=0（a，b为非零实数），在同一坐标系中，它们的图形可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

42. 难度：中等

AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K_AB•K_OM的值为（ ）
A．e-1
B．1-e
C．e²-1
D．1-e²

43. 难度：中等

已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

44. 难度：中等

如图所示，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁B上存在一点P使得AP+D₁P取得最小值，则此最小值为（ ）

A．2
B．
C．2+
D．

二、填空题

45. 难度：中等

已知实数x，y满足关系：x²+y²-2x+4y-20=0，则x²+y²的最小值    ．

46. 难度：中等

过点A（4，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程     ．

47. 难度：中等

已知两点A（-1，2），B（2，-1），直线x-2y+m=0与线段AB相交，则m的取值范围是     ．

48. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁到B₁C的距离为    ，A到A₁C的距离为    ．

49. 难度：中等

α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：    ．

50. 难度：中等

直线被两坐标轴截得的线段长度为1，则t的值是     ．

51. 难度：中等

直线kx-y=k-1与直线ky=x+2k的交点在第二象限内，则k的取值范围是     ．

52. 难度：中等

直线y=-x-b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是    ．

53. 难度：中等

如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，
容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））
有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是：    （写出所有真命题的代号）．

54. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是    ．

55. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=    ．

56. 难度：中等

过点M（3，-1）且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为    ．

57. 难度：中等

已知A（-1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|=    ．

58. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）过焦点的弦AB两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则关系式为定值     ．

59. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=4，AA₁=5，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60，则=    ．

60. 难度：中等

在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为    ．

61. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在侧面CDD₁C₁及
其边界上运动，并且总保持B₁P∥平面A₁BD，则动点P的轨迹的长度是    ．

62. 难度：中等

如图所示：椭圆的中心为O，F为焦点，A为顶点，准线L交OA的延长线于B，P、Q在椭圆上，且PD⊥L于D，QF⊥OA于F，椭圆的离心率为e，给出下列结论：
①；②；③；④；⑤
其中正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）

三、解答题

63. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

64. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点
（1）证明：AD⊥D₁F；
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明：面AED⊥面A₁FD₁．

65. 难度：中等

过点（-5，-4）作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．

66. 难度：中等

已知一圆经过点A（2，-3）和B（-2，-5），且圆心C在直线l：x-2y-3=0上，求此圆的标准方程．

67. 难度：中等

一束光线l自A（-3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到⊙C：x²+y²-4x-4y+7=0上．
（1）求反射线通过圆心C时，光线l的方程；
（2）求在x轴上，反射点M的范围．

68. 难度：中等

已知，圆C：x²+y²-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且时，求直线l的方程．

69. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x-6y+1=0，直线l：x+my=3．
（1）若l与C相切，求m的值；
（2）是否存在m值，使得l与C相交于A、B两点，且（其中O为坐标原点），若存在，求出m，若不存在，请说明理由．

70. 难度：中等

已知两平行直线ℓ₁：ax-by+4=0与ℓ₂：（a-1）x+y-2=0．且坐标原点到这两条直线的距离相等．求a，b的值．

71. 难度：中等

设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为2，求圆的方程．

72. 难度：中等

如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于A′．

（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的正切值．

73. 难度：中等

已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0．AC边上的高BH所在直线为x-2y-5=0．求：
（1）顶点C的坐标；
（2）直线BC的方程．

74. 难度：中等

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
（1）求证：平面A₁ABB₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：B₁C∥平面A₁DB．

75. 难度：中等

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且（其中O为坐标原点）求m的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

76. 难度：中等

已知数据：1，2，1，0，-1，-2，0，-1，这组数据的方差为 ______．

77. 难度：中等

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，它与直线x+y+1=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ，求椭圆方程．（O为原点）．

78. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PB⊥平面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的大小．
（3）求点A到面EBD的距离．

79. 难度：中等

如图，直线y=x与抛物线y=x²-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点．
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．

80. 难度：中等

已知B为抛物线y²=2px（p＞0）上的动点（除顶点），过B作抛物线准线的垂线，垂足计
为C．连接CO并延长交抛物线于A，（O为原点）
（1）求证AB过定点Q．
（2）若M（1，），试确定B点的位置，使|BM|+|BQ|取得最小值，并求此最小值．

81. 难度：中等

已知a＞0，设命题p：函数y=a^x为减函数；命题q：当时，函数恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．

82. 难度：中等

已知点A和B，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

83. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=．
（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．

84. 难度：中等

一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过横断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB的宽恰好为拱高CD的4倍，|AB|=am，，求能使卡车通过的a的最小整数值．

85. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=，求直线PA与底面ABCD所成角．

86. 难度：中等

设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．