2010-2011学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合P={x|x＜4}，Q={x|x²＜4}，则{x|x＜4}=（ ）
A．Q∪P
B．P∩Q
C．P∪C_RQ
D．Q∪C_RP

2. 难度：中等

在复平面内，复数i（i-1）对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

如果实数x、y满足条件，那么2x-y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．-2
D．-3

4. 难度：中等

已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c

6. 难度：中等

直线ax+by+a+b=0与圆x²+y²=2的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相交或相切

7. 难度：中等

已知△ABD是等边三角形，且，，那么四边形ABCD的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|＜m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：①f（x）=x²；②f（x）=sinx+cosx；③；④f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．其中是F函数的序号为（ ）
A．②④
B．①③
C．③④
D．①②

二、填空题

9. 难度：中等

已知，且α是第二象限角，则sin2α=    ．

10. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为    ．

11. 难度：中等

在数列{a_n}中，若a₁=2，且对任意的正整数p，q都有a_p+q=a_pa_q，则a₈的值为    ．

12. 难度：中等

已知函数，那么不等式f（x）≥1的解集为    ．

13. 难度：中等

已知双曲线kx²-y²=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，那么双曲线的离心率为    ；渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-cos2x，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-1（n∈N^*），且b₁=5．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且，证明：．

17. 难度：中等

如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，
AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：△MBP为钝角三角形．

20. 难度：中等

已知集合A=a₁，a₂，…，a_n中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，有．
（Ⅰ）求证：；    
（Ⅱ）求证：n≤9；
（Ⅲ）对于n=9，试给出一个满足条件的集合A．