2010-2011学年安徽省巢湖、六安、淮南三校（一中）高三（上）1月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1或x≥3}，集合B={x|k＜x＜k+1}，k∈R，若（C_RA）∩B=φ，则k的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）∪（3，+∞）
B．（-∞，0]∪[3，+∞）
C．（-∞，1]∪[3，+∞）
D．（1，2）

2. 难度：中等

设S_n表示数列{a_n}前n项的和，若a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N^*），则a₄等于（ ）
A．18
B．20
C．48
D．54

3. 难度：中等

若a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

4. 难度：中等

已知点M是直线l：2x-y-4=0与x轴的交点，将直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是（ ）
A．x+y-3=0
B．3x+y-6=0
C．3x-y+6=0
D．x-3y-2=0

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差d＜0，若a₃a₇=21，a₁+a₉=10，则使前n项和S_n＞0成立的最大正整数n是（ ）
A．9
B．10
C．18
D．19

6. 难度：中等

定义在R上的函数，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a

7. 难度：中等

函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间内的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列命题中假命题 是（ ）
A．若，则∥
B．在方向上的投影为
C．若△ABC中，a=5，b=8，c=7，则
D．若非零向量、满足|+|=|-|，则⊥

9. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，f（1）=2，则f（2011）等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

10. 难度：中等

若方程e^x=ax²（a＞0）恰有两个不等实根，则（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在约束条件下，目标函数z=3x+5y的最大值为    ．

12. 难度：中等

若矩形ABCD的两条对角线的交点为M（2，0），AB边所在直线方程为x-3y-6=0，点N（-1，1）在AD边所在直线上，则矩形ABCD外接圆的标准方程为    ．

13. 难度：中等

已知直线是函数f（x）=sin（2x+ϕ）（-π＜ϕ＜0）图象的一条对称轴．有以下几个结论：
①；
②是f（x）图象的一个对称中心；
③是f（x）的一个单调增区间；
④将f（x）的图象向左平移个单位长度，即得到函数y=sin2x的图象．
其中正确结论的序号是    ．（将你认为正确的结论的序号都填上）

14. 难度：中等

椭圆C短轴的一个端点与两个焦点F₁、F₂构成边长为2的正三角形，P为椭圆C上一点，且|PF₁|-|PF₂|=1，则△PF₁F₂的面积为    ．

15. 难度：中等

我们知道，每年的冬至日，南纬23°26′线（南回归线）的正午受太阳光垂直射入，此时北半球建筑物的影子最长．这一点对于建楼时楼间距的确定具有重要参考价值．已知合肥城区位于北纬31°51′线上，则城区一幢20米高的住宅楼在冬至日正午时的影子长约为    米．（要求四舍五入后保留整数）
参考数据：

	正弦	余弦	正切
31°51′	0.53	0.85	0.62
34°43′	0.57	0.82	0.69

三、解答题

16. 难度：中等

已知α、β∈（0，π），，tan（α+β）=1．
（I）求tanβ及cosβ的值；
（II）求的值．

17. 难度：中等

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式{a_n}；
（Ⅱ）令，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小的正整数n．

18. 难度：中等

已知圆C：（x-a）²+（y-a）²=1（a∈R）．
（Ⅰ） 设直线l：2x-y-1=0被圆C截得的线段长为，求a的值；
（Ⅱ） 设A=（x，y）||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R，记圆C及其内部所构成的点集为B．当时，求点集A∩B所构成的图形的面积S．

19. 难度：中等

设函数f（x）=lnx，．
（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求证：．

20. 难度：中等

设椭圆C：（a＞b＞0）过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的动直线AB交椭圆于点M、N，（其中点N位于点A、B之间），且交直线l：x=8于点B（如图）．证明：．

21. 难度：中等

记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．
（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；
（Ⅱ）写出h（p）的解析式（不必写出求解过程）；
（Ⅲ）在所有形如题设的函数f（x）中，求出这样的f（x），使得|f（x）|的最大值为最小．