2010-2011学年浙江省温州市龙湾中学高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列抛物线中，开口最大的是（ ）
A．y²=
B．y²=
C．y²=2
D．y²=4

2. 难度：中等

下列四个结论中正确的个数为（ ）
①命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是“若x＞1，x＜-1，则x²＞1”
②已知P：“∀x∈R，sinx≤1，q：若a＜b，则am²＜bm²，则P且q为真命题
③命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
④“x＞2”是“x²＞4”的必要不充分条件．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

3. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．1

4. 难度：中等

设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若b⊂α，c∥α，则b∥c
B．若b⊂α，b∥c，则c∥α
C．若c∥α，α⊥β，则c⊥β
D．若c∥α，c⊥β，则α⊥β

5. 难度：中等

如图所示，已知PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB，M是PA的中点，
则二面角M-DC-A的大小为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知点F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．
C．（1，2）
D．

7. 难度：中等

过双曲线x²-y²=8的右焦点F₂的一条弦PQ，|PQ|=6，F₁是左焦点，那么△F₁PQ的周长为（ ）
A．18
B．14-8
C．14+8
D．8

8. 难度：中等

已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直

9. 难度：中等

设椭圆 （a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F（c，0），方程ax²+bx+c=0的两个实数根分别为x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）必在（ ）
A．圆x²+y²=3内
B．圆x²+y²=3上
C．圆x²+y²=3外
D．以上三种都可能

10. 难度：中等

如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则此时B、D的距离是 （ ）
A．2或
B．2或
C．2
D．1或

二、填空题

11. 难度：中等

已知命题p：底面是棱形的直棱柱是正四棱柱；命题q：底面是正三角形的棱锥是正三棱锥．有下列四个结论：①p真q假；②“p∧q”为假；③“p∨q”为真；④p假q假其中正确结论的序号是    ．（请把正确结论的序号都填上）

12. 难度：中等

动圆的圆心在抛物线y²=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点    ．

13. 难度：中等

下列结论正确的是   
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．

14. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF₁F₂的面积为9，则b=    ．

15. 难度：中等

正四面体ABCD的各棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为    ．

16. 难度：中等

过抛物线x²=4y的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则=    ．

17. 难度：中等

下列关于曲线5x²y²+y⁴=1的描述中：①该曲线是封闭曲线 ②图象关于原点对称③曲线上的点到原点的最短距离为正确的序号是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

如图四棱锥P-ABCD，PC⊥面ABCD，PC=2，面ABCD是边长为1的正方形，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ） 当点E在什么位置时，AP∥面EBD？并证明；
（Ⅱ） 是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

20. 难度：中等

已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过Q（1，1）作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．

21. 难度：中等

如图，正方形ACDE边长为1且所在的平面与平面ABC垂直，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求点A到面EBC的距离；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小；
（3）求二面角A-E-BC的大小．

22. 难度：中等

设椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为（0，），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．