2010-2011学年浙江省名校新高考研究联盟高三（上）12月第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（ ）
A．M∪N=R
B．M∪C_RN=R
C．N∪C_RM=R
D．M∩N=M

2. 难度：中等

设p：x＜-1，q：x²-x-2＞0，则下列命题为真的是（ ）
A．若q则^¬p
B．若q则p
C．若p则q
D．若^¬p则q

3. 难度：中等

已知函数y=f（x），x∈R，数列{a_n}的通项公式是a_n=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{a_n}是递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）

A．14
B．20
C．30
D．55

5. 难度：中等

已知△OAB三顶点坐标分别是O（0，0）、A（1，1）、B（2，0），直线ax+by=1与线段OA、OB都有公共点，则对于z=2a-b，下列叙述正确的是 （ ）
A．有最大值2
B．有最小值2
C．没有最大值
D．有最小值

6. 难度：中等

如图，某几何体的正视图是边长为2的正方形，左视图和俯视图都是直角边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积等于（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知点P为△ABC所在平面上的一点，且，其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

等差数列{a_n}前n项和为S_n，等差数列{b_n}前n项和为T_n，而且，则等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．如果关于x的方程f（x）=k（x-1）恰有三个不同的解，那么实数k的取值范围是（ ）
A．
B．或
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是    ．

12. 难度：中等

平面直角坐标系中，圆O方程为x²+y²=1，直线y=2x与圆O交于A，B两点，又知角α、β的始边是x轴，终边分别为OA和OB，则cos（α+β）=    ．

13. 难度：中等

已知（1+i）²⁰¹⁰=1+C₂₀₁₀¹•i-C₂₀₁₀²-C₂₀₁₀³•i+…+C₂₀₁₀^k•i^k+…-C₂₀₁₀²⁰¹⁰（其中i为虚数单位），由此可以推断出：C₂₀₁₀¹-C₂₀₁₀³+C₂₀₁₀⁵-…+（-1）^k•C₂₀₁₀^2k+1+…+C₂₀₁₀²⁰⁰⁹=    ．

14. 难度：中等

把正整数数列{n}中的数按如下规律排成三角形数阵：设    a_i，j是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往 右数第j个数（如a_1，1=1，a_4，3=9）．若a_m，n=2010，求m+n=    ．

15. 难度：中等

已知椭圆的短轴长为2b，那么直线bx+cy+3=0截圆x²+y²=1所得的弦长等于    ．

16. 难度：中等

如图圆形花坛被分成5个扇形区域，现种植三种不同的花卉．一块区域内只种植一种花卉，每种花卉至少种一块区域，而且相邻（有公共边）的两块区域不能种同一种花卉，那么最多有    种不同的种法．

17. 难度：中等

设点列A_n（x_n，0）、P_n（x_n，2^n-1）和抛物线列（n∈N*），x_n由以下方法得到：点P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在抛物线上，点A_n（x_n，0）到P_n+1的距离是A_n到C_n上点的最短距离；试写出x_n+1和x_n之间的递推关系式为x_n+1=    （用x_n表示）．

三、解答题

18. 难度：中等

某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P₂，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P₂的取值范围．

19. 难度：中等

在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．
（I）若点E是棱CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；
（II）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．

20. 难度：中等

已知，
（1）求函数y=f（x）（0＜x＜π）的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A满足f（A）=2，而，求BC边上的高AD长的最大值．

21. 难度：中等

（1）如图1所示，请证明抛物线的一个几何性质：过抛物线y²=4x的焦点F任作直线l与抛物线交于A，B两点，则在x轴上存在定点M（-1，0），使直线MF始终是∠AMB的平分线；
（2）如图2所示，对于椭圆，设它的左焦点为F；请写出一个类似地性质；并证明其真假．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3|x-a|+λ•sin，其中a，λ∈R；
（1）当a=0时，求f（1）的值并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当a=0时，若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线经过坐标原点，求λ的值；
（3）当λ=0时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值．