2010-2011学年浙江省宁波市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x=iⁿ，n∈N}，其中i为虚数单位，则下面属于M的元素是（ ）
A．（1+i）+（1-i）
B．（1+i）-（1-i）
C．（1+i）（1-i）
D．

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₆=（ ）
A．-8
B．0
C．2
D．8

3. 难度：中等

“a≠0”是“函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有零点”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A．cm³
B．70πcm³
C．cm³
D．100πcm³

5. 难度：中等

设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是（ ）
A．x，y，z为直线
B．x，y，z为平面
C．x，y为直线，z为平面
D．x为直线，y，z为平面

6. 难度：中等

设双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A（不同于O点），则△OAF的面积为（ ）
A．ab
B．bc
C．ac
D．

7. 难度：中等

14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（ ）
A．C₉²A₃²
B．C₉²A₅²
C．C₉²A₇²
D．C₉²A₇⁷

8. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=（n∈N^*），则右图中第9行所有数的和为（ ）

A．90
B．9!
C．1022
D．1024

9. 难度：中等

已知函数的图象关于点A对称，则点A的坐标为（ ）
A．（0，2）
B．
C．
D．
≠

10. 难度：中等

函数f_M（x）的定义域为R，且定义如下：f_M（x）=（其中M为非空数集且M⊈R），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足A∩B≡∅，则函数F（x）=的值域为（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{0，1}
D．∅

二、填空题

11. 难度：中等

设函数（c为常数），若，则c=    ．

12. 难度：中等

某物流公司规定甲、乙两地之间托运物资的费用为：若不超过50kg，则以按0.53元/kg收费；若超过50kg，则不超过50kg部分仍以按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费，相应收费系统的流程图如右图所示，则①处应填    ．

13. 难度：中等

已知（1+kx²）⁶（k是正整数）的展开式中，x⁸的系数小于120，则k=    ．

14. 难度：中等

已知半径为2的圆O与长度为3的线段PQ相切，若切点恰好为PQ的一个三等分点，则=    ．

15. 难度：中等

已知点A（0，2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=    ．

16. 难度：中等

设关于x的不等式x²-x＜2nx（n∈N*）的解集中整数的个数为a_n，数列{a_n}的前几项和为S_n，则的值为    ．

17. 难度：中等

如图，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设M是△A₁BD内任一点（不包括边界），定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-ADA₁、三棱锥M-ABA₁、三棱锥M-ADB的体积．若，且ax+y-108xy≥0恒成立，则正实数a的最小值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知 a=2bsinA，．
（1）求B的值；
（2）若△ABC的面积为，求a，b的值．

19. 难度：中等

现有一个放有9个球的袋子，其中红球4个，白球3个，黄球2个，并且这些球除颜色外完全相同．
（Ⅰ） 现从袋子里任意摸出3个球，求其中有两球同色的概率；
（Ⅱ） 若在袋子里任意摸球，取后不放回，每次只摸出一球，直到摸出有两球同色为止，求摸球次数ξ的分布列及数学期望．

20. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值．

21. 难度：中等

设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：y=x²-1与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．

22. 难度：中等

设函数f （x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²，a∈R．
（Ⅰ） 若x=1是f （x）的极大值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 设函数g（x）=bx²-（2b+1）x+ln x （b≠0，b∈R），若函数f （x）有极大值，且g（x）的极大值点与f （x）的极大值点相同．当a＞-3时，求证：g（x）的极小值小于-1．