2011年江苏省部分四星级高中联考高三期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3^x，x＞0}．则A*B为     ．

2. 难度：中等

设a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂均为非零实数，不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分别为集合M和N，那么“==”是“M=N”的    条件．

3. 难度：中等

已知a≥0，若函数f（x）=在[-1，1]上为增函数，则a的取值集合为    _．

4. 难度：中等

设[x]表示不超过x的最大整数，则不等式[x]²-3[x]-10≤0的解集是    ．

5. 难度：中等

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，点P为△BCD内（含边界）的动点，设（α，β∈R），则α+β的最大值等于    ．

6. 难度：中等

函数f（x）=asinx-bcosx图象的一条对称轴方程是，则直线ax-by+c=0的倾斜角为    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=2x²-x，则使得数列{}（n∈N⁺）成等差数列的非零常数p与q所满足的关系式为    ．

8. 难度：中等

已知两个正实数a，b满足a+b≤3，若当时，恒有（x-a）²+（y-b）²≥2，则以a，b为坐标的点（a，b）所形成的平面区域的面积等于    ．

9. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x）；②对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），③f（x+2）的图象关于y轴对称，则f（4.5），f（6.5），f（7）的大小关系是    ．

10. 难度：中等

设函数，项数为25的等差数列a_n且公差d≠0，若f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₅）=0，则i=    有f（a_i）=0．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向．若且λ，μ≥0，C点所有可能的位置区域的面积为    ．

12. 难度：中等

已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2^k-1个2，即1，2，1，2，2，1，2，2，2，2，1，2，2，2，2，2，2，2，2，1，…则该数列前2010项的和s₂₀₁₀=    ．

13. 难度：中等

已知f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若关于x的不等式ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=x（x∈N^*），a_n+2=|a_n+1-a_n|，若前2010项中恰好含有666项为0，则x的值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且满足a²+b²=ab+4，．
（1）时，若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积；
（2）求△ABC的面积等于的一个充要条件．

16. 难度：中等

已知 f（θ）=a sinθ+b cosθ，θ∈[0，π]，且1与2cos ² 的等差中项大于1与 sin ² 的等比中项的平方．
求：（1）当a=4，b=3时，f（θ） 的最大值及相应的 θ 值；
（2）当a＞b＞0时，f（θ） 的值域．

17. 难度：中等

设，方程f（x）=x有唯一解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N^*），且．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）若，求和S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）问：是否存在最小整数m，使得对任意n∈N^*，有成立，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

18. 难度：中等

已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元．
（1）写出y（单位：元）关于ω单位：克）的函数关系式；
（2）若把一块该种矿石切割成重量比为1：3的两块矿石，求价值损失的百分率；
（3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

19. 难度：中等

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数：
（1）是否存在实数b，使得f（x）在为增函数，为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．