2009-2010学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“至少有三个”的否定为（ ）
A．至多有两个
B．至多有三个
C．有两个
D．有三个

2. 难度：中等

命题“两条对角线相等的平行四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的平行四边形”的（ ）
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．原命题

3. 难度：中等

在△ABC中，若，A=60°，b=6，则角B是（ ）
A．30°或150°
B．30°
C．150°
D．45°

4. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率是，则该双曲线两渐近线夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

（x+2y-2）（x-y+1）≥0表示的平面区域是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．“x²=1”是“x=1”的充分不必要条件
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题

7. 难度：中等

过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A．2
B．
C．1
D．

8. 难度：中等

北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新的车辆数约为现有总车辆数的（参考数据：1.1⁴=1.46，1.1⁵=1.61）（ ）
A．10%
B．16.4%
C．16.8%
D．20%

二、填空题

9. 难度：中等

等差数列{a_n}满足a₃+a₅=10，则数列{a_n}的第四项a₄=    ．

10. 难度：中等

函数的定义域为    ．

11. 难度：中等

已知向量知=（0，-1，1），=（4，1，0），|λ+|=，且λ＞0，则λ=    ．

12. 难度：中等

已知点P（x，y）的坐标满足条件，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于    ，最大值
等于    ．

13. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₂=0，a₄=-2，S_n是此数列的前n项和，S_n=f（n），则f（n）的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x²-=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

△ABC中，D在边BC上，且BD=2，DC=1，∠B=60°，∠ADC=150°，求AC的长及△ABC的面积．

17. 难度：中等

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
（Ⅰ）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
（Ⅱ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

18. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD与底面ABCD垂直，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F
（Ⅰ）证明PA∥平面EBD．
（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）求二面角P-DE-F的余弦值．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）证明数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅲ）求数列{n•a_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF₂|=．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C₁交于A，B两点，若，求直线l的方程．