2010-2011学年广东省东莞市高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列不等式：
①-x²+x+1≥；0
②；
③x²+6x+10＞0；
④2x²-3x+4＜1．
其中解集为R的是（ ）
A．④
B．③
C．②
D．①

2. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，S₁₀=120，那么a₂+a₉等于（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48

3. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a=1，b=，A=30°，则c的值为（ ）
A．2
B．1
C．1或2
D．或2

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a₁+a₂=3，a₂+a₃=6，则a₇=（ ）
A．64
B．81
C．128
D．243

5. 难度：中等

记等差数列的前n项和为S_n，若S₂=4，S₄=20，则该数列的公差d=（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7

6. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，点D是AB的中点，则直线B₁B和平面CDB₁所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某荒漠上有相距4km的M，N两点，要围垦出以MN为一条对角线的平行四边形区域，建成农艺园．按照规划，围墙总长为12km．在设计图纸上，建立平面直角坐标系如图（O为MN的中点），那么平行四边形另外两个顶点P，Q的坐标满足的方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在R上定义运算⊙：x⊙y=x（1-y）．若不等式（x-a）⊙（x+a）＜1对任意实数x成立，则（ ）
A．-1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

如果双曲线上一点P到焦点F₁的距离等于7，那么点P到另一个焦点F₂的距离是    ．

10. 难度：中等

若F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，当PF₁⊥PF₂，且∠PF₁F₂=30，则椭圆的离心率为    ．

11. 难度：中等

已知直线l与抛物线y²=8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为（8，8），则线段AB的中点到准线的距离是    ．

12. 难度：中等

已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，-5），点P（x，-1，3）在平面ABC内，则x=    ．

13. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为s_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则s₄=    ．

14. 难度：中等

实数x，y满足不等式组所确定的可行域内，若目标函数z=-x+y仅在点（3，2）取得最大值，则正实数k的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
（1）求cos（B+C）的值；
（2）若a=2，，求b的值．

16. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求的值．

17. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．E是CC₁的中点，
（1）求锐二面角D-B₁E-B的余弦值．
（2）试判断AC与面DB₁E的位置关系，并说明理由．
（3）设M是棱AB上一点，若M到面DB₁E的距离为，试确定点M的位置．

18. 难度：中等

设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2a₂=a₁+a₃，数列是公差为d的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式（用n，d表示）；
（Ⅱ）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立．求c的最大值．

19. 难度：中等

设直线l：y=x+1与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且，求椭圆的方程．

20. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．
（1）当 时，求点M的坐标；
（2）求 的最大值；
（3）设点B（0，1），是否存在常数λ及定点H，使得 恒成立？若存在，求出λ的值及点H的坐标；若不存在，说明理由．