2008-2009学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题p：∃x∈Q，x∈Z的否定是（ ）
A．¬p：∃x∈Q，x∉Z
B．¬p：∃x∉Q，x∈Z
C．¬p：∀x∈Q，x∈Z
D．¬p：∀x∈Q，x∉Z

2. 难度：中等

“ab＞0”是“ax²-by²=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件又不是必要条件

3. 难度：中等

已知=（2，3，5），=（3，x，y），若∥，则（ ）
A．
B．x=9，y=15
C．
D．x=-9，y=-15

4. 难度：中等

设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，过F₁的直线交椭圆于M、N两点，则△MNF₂的周长为（ ）
A．
B．
C．8
D．4

5. 难度：中等

棱长为1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，的值为（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

6. 难度：中等

已知命题p：如果x＜1，则x＜2；命题q：∃x∈R，x²+1=0，则（ ）
A．p∨q是假命题
B．p是假命题
C．p∧q是假命题
D．¬q是假命题

7. 难度：中等

已知A（-2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．两条平行直线

8. 难度：中等

已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c表示，则等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知直线y=x-2与抛物线y²=4x交于A、B两点，则|AB|的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设A，B∈R，A≠B且AB≠0，则方程Bx-y+A=0和在同一坐标系下的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线x²-y²=1的焦点到其渐近线的距离为    ．

12. 难度：中等

命题“∀a，b∈R，如果a＞b，则a³＞b³”的逆命题是    ．

13. 难度：中等

已知，，则=    ．

14. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为1，底面ABC为直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=90°．则二面角B₁-AC-B的大小为    ；点A到平面BCC₁B₁的距离等于    ．

15. 难度：中等

过（2，0）点且倾斜角为60°的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB中点的坐标为    ．

16. 难度：中等

已知曲线C的方程是，且m≠0），给出下面三个命题：
①若曲线C表示圆，则m=1；
②若曲线C表示椭圆，则m的值越大，椭圆的离心率越大；
③若曲线C表示双曲线，则m的值越大，双曲线的离心率越小；
其中正确的命题是    ． （填写所有正确命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，长轴的一个顶点坐标为（2，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F₁，F₂为椭圆C的焦点，P为椭圆上一点，且PF₁⊥PF₂，求△PF₁F₂的面积．

18. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，E，F分别是BC，CD上的点，且BE=CF=3．
（1）求B₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切值；
（2）求证：B₁F⊥D₁E．

19. 难度：中等

已知双曲线C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且，证明：λ+e²=1；
（3）设P是点F₁关于直线l的对称点，当△PF₁F₂为等腰三角形时，求e的值．

四、填空题

20. 难度：中等

某校高一、高二、高三共有学生1200人，其中高二有学生360人．现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为50人的样本进行学习兴趣相关情况的调查，则应在高二年级抽取    人．

21. 难度：中等

将一组数据中的每一个数据都减去10得到一组新的数据，如果这组新数据的平均数和方差分别为1.2和0.4，那么原来一组数据的平均数和方差分别为    和    ．

22. 难度：中等

已知正方形ABCD及其内切圆O，若向正方形内投点，则点落在圆内的概率为    ．

23. 难度：中等

通过抽样，得到了某市100位居民某年的月均用水量（单位：t），根据情况将数据分成了以下9组：[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]，并绘制了如下图所示的频率分布直方图．那么，直方图中x的值为    ；
根据直方图可以做出推测，在这个城市的所有用户中，月均用水量小于1.5t的用户所占的比例为    ．

24. 难度：中等

甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是    ；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为    ．

25. 难度：中等

阅读下面两个程序框图，框图1输出的结果为    ；框图2输出的结果为    ．

五、解答题

26. 难度：中等

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗Y（吨标准煤）的5组对照数据

x	3	4	5	6	7
Y	2.5	3	4	4.5	5

（1）请在给出的坐标系内画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，求Y关于x的回归直线方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为92吨标准煤．试根据（2）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数据：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5+7×5=101.5）

27. 难度：中等

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面ACE．

28. 难度：中等

已知两个动点A，B和一个定点均在抛物线x²=2py上，设F为抛物线的焦点，Q为抛物线对称轴上一点，若成等差数列，且（A，B与P不重合）．
（1）求证：线段AB的中点在直线上；
（2）求点Q的纵坐标；
（3）求的取值范围．