2008-2009学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A_n²=20，则n=（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

2. 难度：中等

有不同的红球5个，不同的白球4个．从中任意取出两个不同颜色的球，则不同的取法有（ ）
A．9种
B．16种
C．20种
D．32种

3. 难度：中等

（1+2x）⁵展开式的二项式系数和为（ ）
A．243
B．32
C．24
D．16

4. 难度：中等

甲、乙两组各有6人，现从每组中分别选出3人参加科普知识竞赛，则参加比赛人员的组成方式共有（ ）
A．400种
B．200种
C．40种
D．20种

5. 难度：中等

5个人站成一排，甲、乙2人中间恰有1人的排法共有（ ）
A．72种
B．36种
C．18种
D．12种

6. 难度：中等

在研究吸烟与患慢性支气管炎是否有关时，通过收集数据，整理、分析数据，得出“吸烟与患慢性支气管炎有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是正确的．则下列说法正确的是（ ）
A．100个吸烟者中至少有99个患慢性支气管炎
B．某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有慢性支气管炎
C．在100个吸烟者中一定有患慢性支气管炎的人
D．在100个吸烟者中可能一个患慢性支气管炎的人都没有

7. 难度：中等

已知在10件产品中有2件次品，现从中任意抽取2件产品，则至少抽出1件次品的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

从0，1，2，3，4这5个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中大于3200的数有（ ）
A．36个
B．30个
C．28个
D．24个

9. 难度：中等

现给如图所示的4个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，共有3种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有（ ）

A．4种
B．6种
C．8种
D．12种

10. 难度：中等

已知，当P（X=k）（k∈N，0≤k≤8）取得最大值时，k的值是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

（2x+1）⁵的展开式中x²项的系数是    ．

12. 难度：中等

5个人站成一排，甲、乙、丙三人相邻的排法共有    种（用数字作答）．

13. 难度：中等

X服从正态分布N（3，σ²），若P（X＞4）=0.2，则P（2＜X＜3）=    ．

14. 难度：中等

从某批产品中有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，设事件A=“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，且P（A）=0.91．则从该批产品中任取1件是二等品的概率为    ．

15. 难度：中等

随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是     ．

16. 难度：中等

若对于任意的实数x，有a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³=x³，则a的值为    ； a₂的值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．

18. 难度：中等

一个口袋中有4个白球，2个黑球，每次从袋中取出一个球．
（1）若有放回的取2次球，求第二次取出的是黑球的概率；
（2）若不放回的取2次球，求在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率；
（3）若有放回的取3次球，求取出黑球次数X的分布列及E（X）．

19. 难度：中等

已知甲同学每投篮一次，投进的概率均为．
（1）求甲同学投篮4次，恰有3次投进的概率；
（2）甲同学玩一个投篮游戏，其规则如下：最多投篮6次，连续2次不中则游戏终止．设甲同学在一次游戏中投篮的次数为X，求X的分布列．

四、填空题

20. 难度：中等

已知（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=    ．

21. 难度：中等

函数y=cosx的图象在点（，）处的切线斜率为    ．

22. 难度：中等

曲线y=x²与直线y=x所围成图形的面积为    ．

23. 难度：中等

设函数f（x）=x³+ax+b的图象为曲线C，直线y=kx-2与曲线C相切于点（1，0）．则k=    ；函数f（x）的解析式为    ．

24. 难度：中等

函数f（x）=ax³+bx²+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x与x=-1处取得极值，给出下列判断：
①f（1）+f（-1）=0；②f（-2）＞0；③函数y=f'（x）在区间（-∞，0）上是增函数．其中正确的判断是    ．（写出所有正确判断的序号）

五、解答题

25. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

26. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）讨论y=f（x）的单调性；（2）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有不等式成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凹函数”．
试证明：当a=-1时，为“凹函数”．

27. 难度：中等

已知函数，g（x）=xe^ax-1（a∈R，e为自然对数的底数，e≈2.718）．
（1）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都存在x₁∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x），求a的取值范围．