2009-2010学年广东省揭阳市普宁市城东中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=8，a₄=64，，则公比q为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8

3. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC与BD的交点，若，，，则向量等于（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

双曲线的焦距为4，它的一个顶点是抛物线y²=4x的焦点，则双曲线的离心率e=（ ）
A．
B．
C．2
D．

5. 难度：中等

“≥0”是“（x-1）（x+2）≥0”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=105，a₂+a₄+a₆=99，以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是（ ）
A．21
B．20
C．19
D．18

7. 难度：中等

给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界，目标函数为z=ax-y，当x=1，y=1时，目标函数z取最小值，则实数a的取值范围是（ ）

A．a＜-1
B．a＞-
C．-1＜a＜-
D．-1≤a≤-

8. 难度：中等

在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若不等式（x-a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（0，2）
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

p：∃x∈R，x²+2x+2≤0的否定是    ．

10. 难度：中等

抛物线y²=4x的准线方程是    ．

11. 难度：中等

已知向量=（1，0，1），=（-2，-1，1），=（3，1，0）则=    ．

12. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，中，BC₁与平面BB₁D₁D所成角为    ．

13. 难度：中等

已知点F为y²=8x的焦点，点P在抛物线上，且其到y轴的距离与到点F的距离之比为1：2，则P点的坐标为    ．

14. 难度：中等

若x是1+2y与1-2y的等比中项，则xy的最大值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2asinB；
（1）求角A的大小；     
（2）若，c=2，求边b的长度及△ABC的面积．

16. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=3，S₅=25
（1）求数列{a_n}的通项a_n
（2）设数列{b_n}满足．

17. 难度：中等

已知椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且椭圆过点P（，1）．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l过点M（-1，1）交椭圆于A、B两点，且，求直线l的方程．

18. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．E是CC₁的中点，
（1）求锐二面角D-B₁E-B的余弦值．
（2）试判断AC与面DB₁E的位置关系，并说明理由．
（3）设M是棱AB上一点，若M到面DB₁E的距离为，试确定点M的位置．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

20. 难度：中等

已知椭圆的两焦点为，，离心率．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值；
（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．