2008-2009学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题p：∃x∈Q，x∈Z的否定是（ ）
A．¬p：∃x∈Q，x∉Z
B．¬p：∃x∉Q，x∈Z
C．¬p：∀x∈Q，x∈Z
D．¬p：∀x∈Q，x∉Z

2. 难度：中等

“ab＞0”是“ax²-by²=1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件又不是必要条件

3. 难度：中等

函数y=x²+1的极值点为（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

已知质点按规律S=2t³+t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在3s时的瞬时速度为（ ）
A．57m∕s
B．55m∕s
C．54m∕s
D．50m∕s

5. 难度：中等

已知命题p：如果x＜1，则x＜2；命题q：∃x∈R，x²+1=0，则（ ）
A．p∨q是假命题
B．p是假命题
C．p∧q是假命题
D．¬q是假命题

6. 难度：中等

设椭圆的焦点为F₁、F₂，P为椭圆上一点，且|PF₁|=3|PF₂|，则|PF₁|的值为（ ）
A．3
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=xlnx在（1，0）处切线的斜率为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

8. 难度：中等

若双曲线C的离心率为2，则实数m的值为（ ）
A．-1
B．-2
C．-3
D．-4

9. 难度：中等

抛物线y=2x²的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

某厂生产一种产品的固定成本为2000元，已知生产x件这样的产品需要再增加可变成本（元），如果生产出的产品都能以每件500元售出，那么，为了获得最大利润，应生产该产品（ ）
A．5件
B．40件
C．50件
D．64件

二、填空题

11. 难度：中等

双曲线x²-4y²=1的渐近线方程是：    ．

12. 难度：中等

命题“∀a，b∈R，如果a＞b，则a³＞b³”的逆命题是    ．

13. 难度：中等

设f（x）=2cosx，则等于    ．

14. 难度：中等

函数的导函数为    ．

15. 难度：中等

设直线y=x-3与抛物线y²=2x的交于A，B两点，则AB中点的坐标为    ．

16. 难度：中等

已知函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，给出如下命题：
①0是函数y=f（x）的一个极值点；
②函数y=f（x）在处切线的斜率小于零；
③f（-1）＜f（0）；
④当-2＜x＜0时，f（x）＞0．
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），且准线与y轴的距离为2．
（1）求此抛物线的方程；
（2）点P为抛物线上一点，且其纵坐标为，求点P到抛物线焦点的距离．

18. 难度：中等

已知x=1是函数f（x）=x³-ax（a为参数）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求x∈[0，2]时，函数f（x）的最大值与最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆C：．
（1）双曲线与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，求双曲线的方程；
（2）设椭圆C的右焦点为F₂，A、B是椭圆上的点，且，求直线AB的斜率．

四、填空题

20. 难度：中等

某校高一、高二、高三共有学生1200人，其中高二有学生360人．现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为50人的样本进行学习兴趣相关情况的调查，则应在高二年级抽取    人．

21. 难度：中等

已知正方形ABCD及其内切圆O，若向正方形内投点，则点落在圆内的概率为    ．

22. 难度：中等

通过抽样，得到了某市100位居民某年的月均用水量（单位：t），根据情况将数据分成了以下9组：[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]，并绘制了如下图所示的频率分布直方图．那么，直方图中x的值为    ；
根据直方图可以做出推测，在这个城市的所有用户中，月均用水量小于1.5t的用户所占的比例为    ．

23. 难度：中等

将一组数据中的每一个数据都减去10得到一组新的数据，如果这组新数据的平均数和方差分别为1.2和0.4，那么原来一组数据的平均数和方差分别为    和    ．

24. 难度：中等

右面程序框图输出的结果为    ．

五、解答题

25. 难度：中等

有4张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4．从中任意抽出一张卡片，放回后再抽出一张卡片，求：
（1）两次抽取的卡片上数字之和等于4的概率；
（2）两次抽取的卡片上数字不相同的概率．

26. 难度：中等

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗Y（吨标准煤）的5组对照数据

x	3	4	5	6	7
Y	2.5	3	4	4.5	5

（1）请在给出的坐标系内画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，求Y关于x的回归直线方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为92吨标准煤．试根据（2）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数据：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5+7×5=101.5）

27. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-kx（x∈R）
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

28. 难度：中等

已知双曲线C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e．直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于A，B两点．
（1）求证：直线l与双曲线C只有一个公共点；
（2）设直线l与双曲线C的公共点为M，且，证明：λ+e²=1；
（3）设P是点F₁关于直线l的对称点，当△PF₁F₂为等腰三角形时，求e的值．