2009-2010学年浙江省宁波市海曙区效实中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）
A．真命题的个数一定是奇数
B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数可以是奇数也可以是偶数
D．真假命题的个数无法确定

2. 难度：中等

复数z=-1+2i，则复数的虚部是（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

3. 难度：中等

双曲线=1的两条渐近线方程为y=±2x，则k的值为（ ）
A．-10
B．10
C．20
D．-20

4. 难度：中等

随机变量X～N（5，σ²），若P（3＜X≤7）=a，则P（X≤3）的值为（ ）
A．-
B．1-a
C．-a
D．+

5. 难度：中等

在直角坐标系中，m＞n＞0是方程=1表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

两个串联着的电子元件A，B，若其中一个损坏的话，电路便出故障，已知元件A的损坏率为0.2，元件B的损坏率为0.5，则该电路出故障的概率为（ ）
A．0.1
B．0.3
C．0.6
D．0.7

7. 难度：中等

下列四个结论中正确的个数为（ ）
①命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是“若x＞1或x＜-1，则x²＞1”
②已知p：∀x∈R，sinx≤1，q：若a＜b，则am²＜bm²，则p∧q为真命题
③命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”
④复数z=a+bi（a，b∈R）表示纯虚数的充要条件是a=0．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

已知点F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．
C．（1，2）
D．

9. 难度：中等

抛掷红黄两颗骰子，已知红色骰子的点数不大于2的条件下，求两颗骰子的点数之和为4的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如果复数z满足|z+i|+|z-i|=4，则|z+2|的最大值为（ ）
A．2
B．2
C．2+
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

已知随机变量X的分布列如图，若EX=3，则b=    ．

X	B	2	4
P	a

12. 难度：中等

以F₁（-4，0），F₂（4，0）为焦点的等轴双曲线的标准方程为    ．

13. 难度：中等

已知复数z₁，z₂在复平面内对应的点依次为A，B，O为原点，若z₁=1+i，△AOB 是以O为直角的等腰直角三角形，且点B在第二象限，则z₂=    ．

14. 难度：中等

动圆的圆心在抛物线y²=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点    ．

15. 难度：中等

设椭圆=1和双曲线=1的公共焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则∠F₁PF₂=    ．

16. 难度：中等

下列关于曲线5x²y²+y⁴=1的描述中：①该曲线是封闭曲线 ②图象关于原点对称③曲线上的点到原点的最短距离为正确的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知z=
（1）求|z|；   
（2）若z²+az+b=1+i，求实数a，b的值．

18. 难度：中等

一个口袋中装有1个红球和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（1）求一次摸奖就中奖的概率；
（2）设三次摸奖（每次摸奖后放回）中奖的次数为ξ，求ξ的分布列及期望值．

19. 难度：中等

已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点P（2，1）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；
（3）过点Q（1，1）作直线交抛物线于A，B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．

20. 难度：中等

设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁，F₂为焦点，离心率为的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）若椭圆的长半轴长为2，求抛物线方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁，A₂两点，如果|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求l的斜率；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且，求实数λ的取值范围．