2005-2006学年江苏省常州市武进区前黄高中高二（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

双曲线x²-y²=1的左焦点到其渐近线的距离是（ ）
A．
B．
C．1
D．

2. 难度：中等

一动圆与圆x²+y²+6x+5=0及圆x²+y²-6x-91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

3. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，表面的对角线中与AD₁成60°的有（ ）
A．4条
B．6条
C．8条
D．10条

4. 难度：中等

若一个△ABC，采用斜二测画法作出其直观图是面积等于1的△A₁B₁C₁，则原△ABC的面积是（ ）
A．
B．2
C．
D．

5. 难度：中等

当k＜17且k≠8时，曲线与曲线的（ ）
A．焦距相等
B．准线相同
C．焦点相同
D．离心率相等

6. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同点A，B满足OA⊥OB，则直线AB必过定点（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（2，0）
D．（0，2）

7. 难度：中等

若实数x，y满足x²+y²-4x+1=0，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知点A（3，2），F是双曲线的右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则点P的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，自A，B向准线作垂线，垂足分别为A₁、B₁，则焦点F与以线段A₁B₁为直径的圆C之间的位置关系是（ ）
A．焦点F在圆C上
B．焦点F在圆C内
C．焦点F在圆C外
D．随直线AB的位置改变而改变

10. 难度：中等

已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列四个命题：
（1）若l垂直于α内的两条直线，则l⊥α；
（2）若m∥α，l⊥α，则m⊥l；
（3）若l∥α，则l平行于α内的所有直线；
（4）若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

11. 难度：中等

如图，已知AA₁与BB₁是异面直线，且AA₁=2，BB₁=1，AB⊥BB₁，A₁B₁⊥BB₁，则AA₁与BB₁所成的角为（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

12. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在A₁D、AC，且A₁E=2ED，CF=2FA，则EF与BD₁的位置关系是（ ）

A．相交但不垂直
B．相交且垂直
C．异面
D．平行

二、填空题

13. 难度：中等

已知A（1，5，-2）、B（2，4，1）、C（p，3，q+2）三点共线，则p+q=    ．

14. 难度：中等

若实数x，y满足，则2x+y的最大值是    ．

15. 难度：中等

椭圆中过P（1，1）的弦恰好被P点平分，则此弦所在直线的方程是    ．

16. 难度：中等

已知平行六面体OABC-O₁A₁B₁C₁，且，，，若点G是侧面AA₁B₁B的中心，=x+y+z，则x+y+z=    ．

17. 难度：中等

已知椭圆与双曲线（m＞0，n＞0）具有相同的焦点F₁，F₂，设两曲线的一个交点为Q，∠QF₁F₂=90°，则双曲线的离心率为     ．

18. 难度：中等

若关于x的方程没有实数解，则实数m的取值范围为    ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

20. 难度：中等

如图，已知边长都为1正方形ABCD与正方形ABEF，∠DAF=90°，M，N分别是对角线AC和BF上的点，且．
（1）求证：MN∥平面BCE；
（2）求MN的最小值．

21. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁的中点．
（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；
（2）求证：AG∥平面BEF；
（3）试在棱BB₁上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．

22. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l₁于．
（1）求该双曲线的方程；
（2）过点F作直线l₂交该双曲线于M，N两点，如果|MN|=4，求直线l₂的方程．

23. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，，一曲线E过点C，且曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设点Q是曲线E上的一动点，求线段QA中点的轨迹方程；
（3）设M，N是曲线E上不同的两点，直线CM和CN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．
（4）若点D是曲线E上的任一定点（除曲线E与直线AB的交点），M，N是曲线E上不同的两点，直线DM和DN的倾斜角互补，直线MN的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值．（本小题不必写出解答过程）