2009-2010学年山西大学附中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（文）设a∈R，则a＞1是＜1 的（ ）
A．必要但不充分条件
B．充分但不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

对抛物线y=4x²，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0，1）
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为（1，0）
D．开口向右，焦点为

3. 难度：中等

已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0

4. 难度：中等

已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ）
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；        
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥a；        
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

5. 难度：中等

已知a_i，b_i∈R，（i=1，2，3，…，n），a₁²+a₂²+…+a_n²=1，b₁²+b₂²+…+b_n²=1，则a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1

6. 难度：中等

设双曲线焦点在y轴上，两条渐近线为，则该双曲线离心率e=（ ）
A．5
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为AC与BD的交点，若，，，则向量等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．不确定

9. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

10. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，”的否定是     ．

12. 难度：中等

已知，（两两互相垂直），那么=    ．

13. 难度：中等

设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于    ．

14. 难度：中等

椭圆的离心率，则m的取值范围为    ．

15. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
（1）AC⊥BD；
（2）△ACD是等边三角形
（3）AB与平面BCD所成的角为60°；
（4）AB与CD所成的角为60°．
则正确结论的序号为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

设a，b，c为正实数，求证：，并指出等号成立的条件．

18. 难度：中等

如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量的坐标；
（Ⅱ）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值．

19. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．

20. 难度：中等

如图，F是椭圆的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，由B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切．
（I）求椭圆的方程；
（II）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，若在x轴上存在一点N（x，0），使得直线NP与直线NQ关于x轴对称，求x的值．