2008-2009学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M=，N=，则（ ）
A．M=N
B．M⊂N
C．M⊃N
D．M∩N=Φ

2. 难度：中等

函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（ ）
A．ab=0
B．a+b=0
C．a=b
D．a²+b²=0

3. 难度：中等

已知函数f（x）=log₅（2x²+x），则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（0，+∞）

4. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和S_n（n=1，2，3…）当首项a₁和公差d变化时，若a₅+a₈+a₁₁是一个定值，则下列各数中为定值的是（ ）
A．S₁₇
B．S₁₈
C．S₁₅
D．S₁₆

5. 难度：中等

把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A．，x∈R
B．，x∈R
C．，x∈R
D．，x∈R

6. 难度：中等

已知正项数列{a_n}的前n项的乘积等于T_n=（n∈N^*），b_n=log₂a_n，则数列{b_n}的前n项和S_n中最大值是（ ）
A．S₆
B．S₅
C．S₄
D．S₃

7. 难度：中等

若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，则称f（x）为优美函数．在下列四个函数中，优美函数是（ ）
A．f（x）=|x|
B．
C．f（x）=2
D．f（x）=x²

8. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，，则a_n=（ ）．
A．2+lnn
B．2+（n-1）lnn
C．2+nlnn
D．1+n+lnn

9. 难度：中等

函数f（x）=x³+bx²+cx+d图象如图，则函数y=x²+bx+的单调递增区间为（ ）

A．（-∞，-2]
B．[3，+∞）
C．[-2，3]
D．[，+∞）

10. 难度：中等

设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A．-3
B．3
C．-8
D．8

二、填空题

11. 难度：中等

曲线y=4x-x³在点（-1，-3）处的切线方程是     ．

12. 难度：中等

设集合，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为    ．

13. 难度：中等

若，则tanαtanβ=    ．

14. 难度：中等

由两条抛物线y²=x和y=x²所围成的图形的面积为    ．

15. 难度：中等

已知函数y=的最大值为M，最小值为m，则的值为    ．

16. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（-3）=    ．

17. 难度：中等

已知x∈（-∞，1]时，不等式1+2^x+（a-a²）4^x＞0恒成立，则a的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，角C=60°
（1）若△ABC的面积是，求a，b 的值；
（2）若 sinC+sin（B-A）=2sin2A，求a：b的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2008）．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对任意x∈R，都有，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=x
（1）若x＞0，求证：
（2）是否存在实数m，使函数h（x）=-f（x²）-m恰有四个不同的零点？若存在求出的m范围；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，是函数f（x）=a_n-1x²-3a_n+a_n+1 （n≥2）的一个零点．
（1）证明{a_n+1-a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n；
（3）是否存在指数函数g（x），使得对任意的正整数n，有成立？若存在，求出满足条件一个g（x）；若不存在，说明理由．