2007-2008学年北京市西城区高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点与原点的距离是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

2. 难度：中等

函数的反函数的定义域为（ （1，+∞） ）
A．（1，+∞）
B．（0，+∞）
C．（0，1）
D．（1，2）

3. 难度：中等

若双曲线x²+ky²=1的离心率是2，则实数k的值是（ ）
A．-3
B．
C．3
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=sinx•（cosx-sinx）的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

5. 难度：中等

下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）

A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

6. 难度：中等

若集合A={x|x²-5x+4＜0}，B={x||x-a|＜1}，则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

7. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=e^x+a•e^-x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
A．ln2
B．-ln2
C．
D．

8. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域是W，若W中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有91个，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，-1]
B．[-1，0）
C．（0，1]
D．[1，2）

二、填空题

9. 难度：中等

已知{a_n}是公比为q的等比数列，且a₂，a₄，a₃成等差数列，则q=    ．

10. 难度：中等

在（x-a）¹⁰的展开式中，x⁷的系数是15，则实数a=    ．

11. 难度：中等

5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有     种．（用数字作答）

12. 难度：中等

已知A，B，C三点在球心为O，半径为3的球面上，且几何体O-ABC为正四面体，那么A，B两点的球面距离为    ；点O到平面ABC的距离为    ．

13. 难度：中等

已知两点A（1，0），B（b，0），若抛物线y²=4x上存在点C，使得△ABC为正三角形，则b=    ．

14. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，，那么λ+μ=    ；若∠A=120°，，则的最小值是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，，．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设，求△ABC的面积．

16. 难度：中等

盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得-1分．现从盒内任取3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）求异面直线AB和PC所成角的大小．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=1，（c＞1为常数，n=1，2，3，…），且
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）①证明：a_n＜a_n+1；
②猜测数列{a_n}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；
（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．