2010-2011学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

原点在直线l上的射影P（-2，1），则l的方程为 （ ）
A．x+2y=0
B．x+2y-4=0
C．2x-y+5=0
D．2x+y+3=0

2. 难度：中等

已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件
B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件
D．甲是乙成立的非充分非必要条件

4. 难度：中等

命题：“若a²+b²=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（ ）
A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
B．若a=b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0
D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a²+b²≠0

5. 难度：中等

已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

6. 难度：中等

与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F₂的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．4

8. 难度：中等

点P是抛物线y²=4x上一动点，则点P到点A（0，-1）的距离与到直线x=-1的距离和的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

已知四面体A-BCD的棱长均为2，其正视图是边长为2的等边三角形（如图，其中BC为水平线），则其侧视图的面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，从双曲线的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（ ）
A．|MO|-|MT|＞b-a
B．|MO|-|MT|＜b-a
C．|MO|-|MT|=b-a
D．以上三种可能都有

二、填空题

11. 难度：中等

若椭圆的离心率为，则m=    ．

12. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是    ．

13. 难度：中等

在正△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则以B、C为焦点且过点D、E的双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

若x，y满足2x+y-2≤0，且y²-2x≤0，则z=x+y的最小值为    ．

15. 难度：中等

将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是    ．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，无最小值；
④当四面体ABCD的体积最大时，； 
⑤AC垂直于截面BDE．

三、解答题

16. 难度：中等

已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，
（1）求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

17. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程是ρ²（1+3sin²θ）=4，直线l的参数方程是（t为参数）．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）设点M为曲线C上任一点，求M到直线l的距离的最大值．

18. 难度：中等

如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，，分别为AC、AD上的动点．
（1）若，求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）若，，求平面BEF与平面BCD所成的锐二面角的大小．

19. 难度：中等

过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁•k₂为定值，并求出定值；
（2）求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标； 
（3）当最小时，求的值．