2010-2011学年浙江省宁波市万里国际学校高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={y|y=+1}，B={x|y=}，则A∩B=（ ）
A．[1，+∞）
B．（1，+∞）
C．（0，+∞）
D．∅

2. 难度：中等

“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y+7-a=0平行且不重合”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

在（2x-）⁶的展开式中的常数项为（ ）
A．15
B．-15
C．60
D．-60

4. 难度：中等

已知点M是抛物线y²=2px（p＞0）位于第一象限部分上的一点，且点M与焦点F的距离|MF|=2p，则点M的坐标为（ ）
A．（，p）
B．（，p）
C．（，p）
D．（p，）

5. 难度：中等

在△ABC中，=2，=2，若=m+n，则m+n=（ ）
A．
B．
C．
D．1

6. 难度：中等

公比为q的等比数列{a_n}，前n项和为S_n，给出下列等式：①a₁a₂a₃a₆=a₄³，②a₆=（q-1）S₅+a₁，③（a₁+a₂）（a₃+a₄）=（a₂+a₃）²，其中一定正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③

7. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e^x”，命题q：“∃x∈R，x²+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[e，4]
B．[1，4]
C．（4，+∞）
D．（-∞，1]

8. 难度：中等

如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（ ）

A．C_n^m-1
B．A_n^m-1
C．C_n^m
D．A_n^m

9. 难度：中等

设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x2+px+q和g（x）=x+都是定义在A{x|1≤x≤}上，对任意的x∈A，存在常数x∈A，使得f（x）≥f（x），g（x）≥g（x），且f（x）=g（x），则f（x）在A上的最大值为（ ）
A．
B．
C．5
D．

二、填空题

11. 难度：中等

走廊上有6盏灯排成一排．为了节约用电，又不影响照明，要求熄灭其中的2盏，但不能熄灭相邻的2盏，则熄灯的方法有    种．

12. 难度：中等

过点A（5，1）作圆C：（x-2）²+（y-1）²=25的弦，其中最长的弦长为a，最短的弦长为b，则a+b=    ．

13. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积为    cm²，体积为    ．cm³．

15. 难度：中等

已知双曲线kx²-y²=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，那么双曲线的离心率为    ．

16. 难度：中等

观察如图所示的数阵中，推测第20行的第2个数是    ．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=，对于下列命题：
①函数f（x）是奇函数；
②直线x=是函数f（x）图象的对称轴；
③对任意x∈R，f（x）满足|f（x）|＜1；
④对任意x∈（-1，0），函数f（x）的导数满足f′（x）＜0．
其中正确命题为    （写出命题序号即可）．

三、解答题

18. 难度：中等

已知P={x|x²-8x-20≤0}，Q={x||x-1|≤m}，m∈R．
（1）若P∪Q=P，求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得方程|x-1|=m至少有一个解x满足“x∈P”？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=sincos+cos²-．
（1）将f（x）写成f（x）=Asin（ωx+ψ）的形式，并求函数f（x）图象对称中心的横坐标；
（2）如果△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求角x的范围及此时函数f（x）的最大值．

20. 难度：中等

如图，在体积为1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：CA₁⊥C₁P；
（2）求CA₁与平面AB₁C₁所成的角的正弦值．

21. 难度：中等

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

22. 难度：中等

设函数，其中a为常数．
（1）证明：对任意a∈R，y=f（x）的图象恒过定点；
（2）当a=-1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．