2009-2010学年北京四中高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）=sinxcosx的最小值是（ ）
A．-1
B．-
C．
D．1

2. 难度：中等

若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（ ）
A．sin
B．cos
C．sin2
D．cos2

3. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=2cos²
B．y=2sin²
C．
D．y=cos2

4. 难度：中等

已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

5. 难度：中等

函数y=sin（2x+）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称

6. 难度：中等

设非零向量、、满足，则=（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°

7. 难度：中等

设0＜a＜1，对于函数（0＜x＜π），下列结论正确的是（ ）
A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值又无最小值

二、填空题

8. 难度：中等

若sinθ=-，tanθ＞0，则cosθ=    ．

9. 难度：中等

已知向量夹角为45°，且||=4，（）•=12，则||=    ．

10. 难度：中等

已知α是锐角，=（sinα，），，且，则α=    ．

11. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（）=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=πcos（+），如果存在实数x₁、x₂，使得对任意实数x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值是     ．

三、解答题

14. 难度：中等

已知sinα=2cosα．
求：（1）tan2α的值；（2）的值．

15. 难度：中等

已知△ABC_三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．
（1）若，求c的值；     
（2）若C=5，求sinA的值．

16. 难度：中等

已知向量=（-cosx，sinx），，函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期、单调增区间；
（3）求函数f（x）在x∈[0，π]时的最大值及相应的x的值．

四、选择题

17. 难度：中等

函数y=2sin（3x+φ）是偶函数，则φ值的集合是（ ）
A．{φ|φ=2kπ+，k∈Z}
B．{φ|φ=kπ-，k∈Z}
C．{φ|φ=2kπ，k∈Z}
D．{φ|φ=kπ，k∈Z}

18. 难度：中等

||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于（ ）
A．
B．3
C．
D．

19. 难度：中等

设α，β是锐角三角形的两内角，则（ ）
A．cosα＞sinβ，cosβ＞sinα
B．cosα＞sinβ，cosβ＜sinα
C．cosα＜sinβ，cosβ＜sinα
D．cosα＜sinβ，cosβ＞sinα

五、填空题

20. 难度：中等

函数f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）的最小正周期为    ，单调减区间为    ．

21. 难度：中等

下面有五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}．
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．
④把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2x的图象
⑤函数y=sin（x-）在（0，π）y=sin（x-）在（0，π）上是减函数．
其中真命题的序号是    （写出所有真命题的编号）

六、解答题

22. 难度：中等

已知，，，．
（Ⅰ）求cosβ的值；
（Ⅱ）求sinα的值．

23. 难度：中等

记．若函数，
用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．

24. 难度：中等

设函数f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0，其中n为正整数．
（1）判断函数f₁（θ）、f₃（θ）的单调性，并就f₁（θ）的情形证明你的结论；
（2）证明：2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）；
（3）对于任意给定的正奇数n，求函数f_n（θ）的最大值和最小值．

七、选择题

25. 难度：中等

cos（-15°）的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

26. 难度：中等

sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（ ）
A．0
B．
C．
D．1

27. 难度：中等

在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．