2009-2010学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在等比数列a_n中，若a₄=8，q=-2，则a₇的值为（ ）
A．-64
B．64
C．-48
D．48

2. 难度：中等

下列四个命题中的真命题为（ ）
A．∃x∈Z，1＜4x＜3
B．∃x∈Z，5x+1=0
C．∀x∈R，x²-1=0
D．∀x∈R，x²+x+2＞0

3. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若点（-2，t）在直线x-2y+4=0的上方，则t的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-1，+∞）
D．（0，1）

4. 难度：中等

“”是“函数y=sin2x取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

在△ABC中，如果，B=30°，那么角A等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°

6. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

7. 难度：中等

若f（x）=（m-2）x²+mx+（2m+1）=0的两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，则m的取值范围是（ ）
A．（-，）
B．（-，）
C．（，）
D．[，]

8. 难度：中等

如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为（ ）

A．29cm
B．30cm
C．32cm
D．48cm

二、填空题

9. 难度：中等

计算复数=    ．

10. 难度：中等

已知直线5x+12y+m=0与圆x²-2x+y²=0相切，则m=    ．

11. 难度：中等

如图是某个函数求值的程序框图，则满足该程序的函数解析式为     ．

12. 难度：中等

已知向量，满足=3，=2，a与b的夹角为60°，则a•b=    ．若（a-mb）⊥a，则实数m=    ．

13. 难度：中等

若双曲线的两个焦点为F₁，F₂，P为双曲线上一点，且|PF₁|=3|PF₂|，则该双曲线离心率的取值范围是    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足则f（-1）=    ，f（33）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．

16. 难度：中等

已知向量=（cosα，1），=（-2，sinα），，且⊥
（1）求sinα的值；
（2）求的值．

17. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．SD=2，，E是SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角C-AS-D的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1处有极值．
（1）求实数a值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）令g（x）=f′（x），若曲线g（x）在（1，g（1））处的切线与两坐标轴分别交于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB的面积．

19. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=a（a＞3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）设b_n=S_n-3ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若（n∈N^*），证明对任意的n∈N^*，不等式恒成立．