2010-2011学年江西省南昌市莲塘一中高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知甲：，乙：（x-1）（x-2）＜0，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

2. 难度：中等

函数的反函数是（ ）
A．y=e^2x-1-1（x＞0）
B．y=e^2x-1+1（x＞0）
C．y=e^2x-1-1（x∈R）
D．y=e^2x-1+1（x∈R）

3. 难度：中等

设抛物线y²=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12

4. 难度：中等

若，则函数y=的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

给定数列{x_n}，x₁=1，且x_n+1=，则=（ ）
A．1
B．-1
C．2+
D．-2+

6. 难度：中等

如图，设P为△ABC内一点，且，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数，其中a为大于零的常数，若函数f（x）在区间[1，+∞）内调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．（-∞，-1]
C．[1，+∞）
D．[-1，+∞）

8. 难度：中等

（理）已知双曲线的左焦点为F₁，左、右顶点为A₁、A₂，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁，A₁A₂为直径的两个圆的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上情况都有可能

9. 难度：中等

已知：O是△ABC所在平面上的一点且满足：，则点O在（ ）
A．AB边上
B．AC边上
C．BC边上
D．△ABC内心

10. 难度：中等

函数f（x）=x²+|x-a|，若都不是函数f（x）的最小值，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

12. 难度：中等

过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=|FB|，则椭圆的离心率等于    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}，定义其倒均数是，若数列{a_n}的倒均数是，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

14. 难度：中等

在区间[t，t+1]上满足不等式|x³-3x+1|≥1的解有且只有一个，则实数t的取值范围为    ．

15. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（，]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（，]上是增函数；
则其中真命题是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2•a^4-x，（a＞0且a≠1），当且仅当点P（x，y）在函数f（x）=2•a^4-x的图象时，点在函数y=g（x）图象上．
（1）求函数y=g（x）的解析式．
（2）求g（x）＞1的解集．

17. 难度：中等

已知圆C方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

18. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2时，求•的值；
（Ⅱ）若•=（λ⁴+3）时，求边长c的最小值及判定此时△ABC的形状．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^x，（a≥0）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对于任意x∈[0，1]，f（x）≥1恒成立，求a取值范围．

20. 难度：中等

已知A₁，A₂为双曲线C：的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A₁P与直线A₂Q相交于点M，
（1）求出动点M（2）的轨迹方程
（2）设点N（-2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足，其中，求出直线AB斜率的取值范围．

21. 难度：中等

在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 A_j，j=1，2，…，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列B_k，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等边三角形，其中A是坐标原点，设第n个等边三角形的边长为a_n．
（1）求a_n的通项公式
（2）设，求证：．